《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

16. 阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题。
计算：$(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$。
令$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = t$,则原式$ = (1 - t)×(t + \frac{1}{5}) - (1 - t - \frac{1}{5})×t = t + \frac{1}{5} - t^2 - \frac{1}{5}t - \frac{4}{5}t + t^2 = \frac{1}{5}$。
问题：
(1) 计算$(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - … - \frac{1}{2020})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + … + \frac{1}{2020} + \frac{1}{2021}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - … - \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + … + \frac{1}{2020})$。
(2) 解方程$(x^2 + 5x + 1)(x^2 + 5x + 7) = 7$。
(1)设1/2+1/3+…+1/2020=t， 则原式=(1-t)×(t+1/2021)-(1-t-1/2021)×t =t+1/2021-t²-1/2021t-t+t²+1/2021t=1/2021.
(2)设x²+5x+1=t，则原方程化为t(t+6)=7， 即t²+6t-7=0,解得t=1或-7.当t=1时,x²+5x+1=1,解得x₁=0,x₂=-5.当t=-7时,x²+5x+1=-7,即x²+5x+8=0，Δ=5²-4×1×8＜0,此时方程无解.
∴原方程的解为x₁=0,x₂=-5.

答案：
(1)设1/2+1/3+…+1/2020=t， 则原式=(1-t)×(t+1/2021)-(1-t-1/2021)×t =t+1/2021-t²-1/2021t-t+t²+1/2021t=1/2021.
(2)设x²+5x+1=t，则原方程化为t(t+6)=7， 即t²+6t-7=0,解得t=1或-7.当t=1时,x²+5x+1=1,解得x₁=0,x₂=-5.当t=-7时,x²+5x+1=-7,即x²+5x+8=0，Δ=5²-4×1×8＜0,此时方程无解.
∴原方程的解为x₁=0,x₂=-5.