《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

11. 如图,已知抛物线 $ y_1 = -x^2 + 1 $,直线 $ y_2 = -x + 1 $,当 $ x $ 任取一值时,$ x $ 对应的函数值分别为 $ y_1,y_2 $。若 $ y_1 eq y_2 $,取 $ y_1,y_2 $ 中的较小值记为 $ M $；若 $ y_1 = y_2 $,记 $ M = y_1 = y_2 $。例如：当 $ x = 2 $ 时,$ y_1 = -3,y_2 = -1,y_1 ＜ y_2 $,此时 $ M = -3 $。下列判断：①当 $ x ＜ 0 $ 时,$ M = y_1 $；②当 $ x ＞ 0 $ 时,$ M $ 随 $ x $ 的增大而增大；③使得 $ M ＞ 1 $ 的 $ x $ 值不存在；④使得 $ M = \frac{1}{2} $ 的 $ x $ 值是 $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ 或 $ \frac{1}{2} $。其中正确的是①③④(填序号)。

答案： ①③④

12. 已知二次函数 $ y_1 = a(x - 2)^2 + k $ 中,函数 $ y_1 $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表：

(1) 求该二次函数的解析式。
(2) 将该函数的图象向左平移 $ 2 $ 个单位长度,得到二次函数 $ y_2 $ 的图象,分别在 $ y_1,y_2 $ 的图象上取点 $ A(m,n_1),B(m + 1,n_2) $,试比较 $ n_1 $ 与 $ n_2 $ 的大小。

答案：
(1)由表格知,二次函数的顶点为(2,1),则k=1,
把(1,2)代入y1=a(x-2)²+1得2=a(1-2)²+1,解得a=1.
∴二次函数的解析式为y1=(x-2)²+1.
(2)由题意得y2=(x-2+2)²+1=x²+1,
把A(m,n1),B(m+1,n2)分别代入y1,y2的解析式得,
n1=(m-2)²+1=m²-4m+5,
n2=(m+1)²+1=m²+2m+2,
n1-n2=(m²-4m+5)-(m²+2m+2)=-6m+3,
若-6m+3＞0,则m＜1/2;若-6m+3＜0,则m＞1/2.
∴当m＜1/2时,n1-n2＞0,即n1＞n2;
当m=1/2时,n1-n2=0,即n1=n2;
当m＞1/2时,n1-n2＜0,即n1＜n2.

13. 已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2,0) $。
(1) 填空：$ c = $______(用含 $ b $ 的式子表示)。
(2) $ b ＜ 4 $。
① 求证：抛物线与 $ x $ 轴有两个交点。
② 设抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $,线段 $ AB $ 上恰有 $ 5 $ 个整点(横坐标、纵坐标都是整数的点),直接写出 $ b $ 的取值范围：______。
(3) 直线 $ y = x - 4 $ 经过抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的顶点 $ P $,求抛物线的函数解析式。
(1)2b-4
(2)②-1＜b≤0
(3)由y=x²+bx+c=x²+bx+2b-4=(x+b/2)²-b²/4+2b-4,
∴顶点P(-b/2,-b²/4+2b-4).
将其代入y=x-4中,得-b²/4+2b-4=-b/2-4,解得b=0或10.
∴抛物线的函数解析式为y=x²-4或y=x²+10x+16.

答案：
(1)2b-4
(2)当b＜4时,
①Δ=b²-4·1·c=b²-4(2b-4)=(b-4)²,
∵b＜4,
∴Δ=(b-4)²＞0.
∴当b＜4时,抛物线与x轴有两个交点.
②-1＜b≤0.
(3)由y=x²+bx+c=x²+bx+2b-4=(x+b/2)²-b²/4+2b-4,
∴顶点P(-b/2,-b²/4+2b-4).
将其代入y=x-4中,得-b²/4+2b-4=-b/2-4,解得b=0或10.
∴抛物线的函数解析式为y=x²-4或y=x²+10x+16.