《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

14. 【烟台】已知关于$x的一元二次方程x^{2} - mnx + m + n = 0$,其中$m,n$在数轴上的对应点如图,则这个方程的根的情况是(A).

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

15. 【南充】已知关于$x的一元二次方程x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$.
(1)求证：无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$k与\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数,求$k$所有可能的值.

答案：
(1)
∵$ \Delta=[-(2k+1)]^{2}-4× 1× (k^{2}+k)=1＞0 $,
∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵$ x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0 $,解得$ x=k $或$ x=k+1 $,
∴一元二次方程$ x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0 $的两根为k，k+1.
∴$ \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k} $或$ \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1} $. 若$ 1+\frac{1}{k} $为整数,则k为1的约数,
∴$ k=\pm 1 $; 若$ 1-\frac{1}{k+1} $为整数,则$ k+1 $为1的约数,
∴$ k+1=\pm 1 $,则k为0或-2.
∴整数k的所有可能的值为-1,1,0或-2.

16. 已知关于$x的方程x^{2} - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0$.
(1)求证：无论$k$取何值,这个方程总有实数根.
(2)若等腰三角形$ABC的一边长a = 4$,另两边$b,c$恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)$ \Delta=(2k+1)^{2}-4× 1× 4(k-\frac{1}{2})=4k^{2}+4k+1-16k+8=(2k-3)^{2} $,
∵$ (2k-3)^{2}\geq 0 $,即$ \Delta\geq 0 $,
∴无论k取何值,这个方程总有实数根.
(2)当$ b=c $时,$ \Delta=(2k-3)^{2}=0 $,解得$ k=\frac{3}{2} $. 方程化为$ x^{2}-4x+4=0 $,解得$ b=c=2 $,而$ 2+2=4 $,故舍去. 当$ a=b=4 $或$ a=c=4 $时,把$ x=4 $代入方程, 得$ 16-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0 $,解得$ k=\frac{5}{2} $. 方程化为$ x^{2}-6x+8=0 $,解得$ x_{1}=4,x_{2}=2 $.
∴$ a=b=4,c=2 $或$ a=c=4,b=2 $.
∴$ \triangle ABC $的周长为$ 4+4+2=10 $.