《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 规定两实数$a$,$b$通过运算“$*$”得$3ab$,即$a*b = 3ab$,例如：$2*6 = 3×2×6 = 36$。
(1)求$3*5$的值。
(2)若$x*x + 2*x - 2*4 = 0$,求$x$的值。

答案：
(1)根据题中的新定义得：$3*5=3×3×5=45$.
(2)已知等式利用题中新定义化简得$3x^{2}+6x-24=0$，即$x^{2}+2x-8=0$. 分解因式得：$(x-2)(x+4)=0$.解得$x_{1}=2,x_{2}=-4$.

9. 阅读下列材料：如果$(x + 1)^2 - 9 = 0$,那么$(x + 1)^2 - 3^2 = (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = (x + 4)(x - 2)$,则$(x + 4)(x - 2) = 0$,由此可知：$x_1 = -4$,$x_2 = 2$。根据以上材料计算$x^2 - 6x - 16 = 0$的根为(A)。
A.$x_1 = -2$,$x_2 = 8$
B.$x_1 = 2$,$x_2 = 8$
C.$x_1 = -2$,$x_2 = -8$
D.$x_1 = 2$,$x_2 = -8$

答案： A

10. 若$x^2 - 2px + 3q = 0的两根分别是-3与5$,则多项式$2x^2 - 4px + 6q$可以分解为(C)。
A.$(x + 3)(x - 5)$
B.$(x - 3)(x + 5)$
C.$2(x + 3)(x - 5)$
D.$2(x - 3)(x + 5)$

答案： C

11. 若$x + 2是x^2 - mx - 8$的一个因式,我们不难得到$x^2 - mx - 8 = (x + 2)(x - 4)$,易知$m = 2$。现在我们用另一种方法来求$m$的值：观察上面的等式,可以发现当$x = -2$时,$x^2 - mx - 8 = (x + 2)(x - 4) = (-2 + 2)(-2 - 4) = 0$,也就是说$x = -2是方程x^2 - mx - 8 = 0$的一个根,由此可以得到$(-2)^2 - m×(-2) - 8 = 0$,解得$m = 2$。若$x + 1是2x^3 + x^2 + mx - 6$的一个因式,用上述方法可求得$m = $-7。

答案： -7

12. 已知$x^2 + xy + y = 14$,$y^2 + xy + x = 28$,则$x + y$的值为-7 或 6。

答案： -7 或 6

13. 用因式分解法解方程：
(1)$(x - 3)^2 = 3 - x$。
(2)$(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$。
(3)$x^2 - 1 = 2(x + 1)$。
(4)$(3x - 1)(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$。

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=2$.
(2)$x_{1}=8,x_{2}=\frac{2}{3}$.
(3)$x_{1}=-1,x_{2}=3$.
(4)$x_{1}=1,x_{2}=-2$.