《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

7. 比较$x^2 + y^2与2xy$的大小。
【尝试】(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
①当$x = 2$,$y = 2$时,$x^2 + y^2$=$2xy$。
②当$x = 1$,$y = 3$时,$x^2 + y^2$＞$2xy$。
③当$x = -1$,$y = -4$时,$x^2 + y^2$＞$2xy$。
【验证】若$x$,$y$取任意实数,$x^2 + y^2与2xy$有怎样的大小关系？试说明理由。
$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$,理由如下:$\because x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\geq 0,\therefore x^{2}+y^{2}\geq 2xy$.
【应用】当$xy = 1$时,请直接写出$x^2 + 4y^2$的最小值。
4

答案： 【尝试】= ＞ ＞ 【验证】$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$,理由如下:$\because x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\geq 0,\therefore x^{2}+y^{2}\geq 2xy$.【应用】$\because xy=1,\therefore x^{2}+4y^{2}=x^{2}+(2y)^{2}\geq 4xy=4$.$\therefore x^{2}+4y^{2}$的最小值是4.

8. 若关于$x的方程25x^2 - (k - 1)x + 1 = 0$的左边可以写成一个完全平方式,则$k$的值为(A)。
A.$-9或11$
B.$-7或8$
C.$-8或9$
D.$-6或7$

答案： A

9. 用配方法解方程$x^2 + px + q = 0$,其配方正确的是(A)。
A.$(x + \frac{p}{2})^2 = \frac{p^2 - 4q}{4}$
B.$(x - \frac{p}{2})^2 = \frac{p^2 - 4q}{4}$
C.$(x + \frac{p}{2})^2 = \frac{4q - p^2}{4}$
D.$(x - \frac{p}{2})^2 = \frac{4q - p^2}{4}$

答案： A

10. 已知$M = 8x^2 - y^2 + 6x - 2$,$N = 9x^2 + 4y + 13$,则$M - N$的值(B)。
A.为正数
B.为负数
C.为非正数
D.不能确定

答案： B

11. 已知$4x^2 - ax + 1可化为(2x - b)^2$的形式,则$ab = $4。

答案： 4

12. 选取二次三项式$ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$中的两项,配成完全平方式的过程叫配方。例如：
①选取二次项和一次项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$。
②选取二次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 4)x或x^2 - 4x + 2 = (x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$。
③选取一次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - x^2$。
根据上述材料,解答下列问题：
(1)写出$x^2 - 8x + 4$的两种不同形式的配方。
(2)已知$x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0$,求$x^y$的值。

答案：
(1)$x^2 - 8x + 4 = x^2 - 8x + 16 - 16 + 4 = (x - 4)^2 - 12$。$x^2 - 8x + 4 = (x - 2)^2 + 4x - 8x = (x - 2)^2 - 4x$。(答案不唯一)
(2)$x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0$,配方得$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}(y - 2)^2 = 0$。$\therefore x + \frac{y}{2} = 0,y - 2 = 0$。解得$x = -1,y = 2$。则$x^y = (-1)^2 = 1$。