《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

11. 如图,中间用相同的白色正方形瓷砖,四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.
(1)按照规律,在第 6 个图中,黑色瓷砖有28块,白色瓷砖有______42块.
(2)某学校新教室要装修,每间教室面积为 $ 68 m^{2} $,准备定制边长为 $ 0.5 m $ 的正方形白色瓷砖和长为 $ 0.5 m $、宽为 $ 0.25 m $ 的长方形黑色瓷砖来铺地面.按照此图案方式进行装修,瓷砖无须切割,恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块 $ 20 $ 元,黑色瓷砖每块 $ 10 $ 元,则每间教室瓷砖共需要多少元?

答案：
(1)28 42
(2)设白色瓷砖的行数为$n$。
由题意得$0.5^{2}× n(n + 1) + 0.5×0.25×4(n + 1) = 68$，解得$n_{1} = 15$，$n_{2} = - 18$(不合题意，舍去)。
$\therefore$白色瓷砖块数为$n(n + 1) = 240$，黑色瓷砖块数为$4(n + 1) = 64$。$\therefore$每间教室瓷砖共需要$20×240 + 10×64 = 5440$(元)。

12. 【江西】如图,为美化校园环境,学校打算在长为 $ 30 m $、宽为 $ 20 m $ 的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成宽为 $ a(m) $ 的通道.若花圃的面积恰好等于 $ 264 m^{2} $,则通道的宽为4 $ m $.

答案： 4

13. 【山西】如图是一张长 $ 12 cm $、宽 $ 10 cm $ 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是 $ 24 cm^{2} $ 的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为2 $ cm $.

答案： 2

14. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 6 cm $,$ AD = 2 cm $,动点 $ P,Q $ 分别从点 $ A,C $ 同时出发,点 $ P $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度向终点 $ B $ 移动,点 $ Q $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度向点 $ D $ 移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为 $ t(s) $,问:
(1)当 $ t = 1 s $ 时,四边形 $ BCQP $ 的面积是多少?
(2)当 $ t $ 为何值时,点 $ P $ 和点 $ Q $ 距离是 $ 3 cm $?
(3)当 $ t = $$\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$，$\frac{6}{5}$，$\frac{- 6 + 2\sqrt{33}}{3}$$ s $ 时,以点 $ P,Q,D $ 为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)

答案：
(1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB = CD = 6cm$，$AD = BC = 2cm$，$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$。$\because CQ = 1cm$，$AP = 2cm$，$\therefore PB = 6 - 2 = 4(cm)$。
$\therefore S_{四边形AQCP}=\frac{1}{2}×(1 + 4)×2 = 5(cm^{2})$。
(2)①如图1,作$QE\perp AB$于点$E$，则$\angle PEQ = 90^{\circ}$。
$\because\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$BCQE$是矩形。
$\therefore QE = BC = 2cm$，$BE = CQ = t(cm)$。
$\because AP = 2t(cm)$，$\therefore PE = 6 - 2t - t = (6 - 3t)cm$。
在$Rt\triangle PQE$中，由勾股定理得$(6 - 3t)^{2} + 4 = 9$，解得$t = \frac{6 - \sqrt{5}}{3}$或$t = \frac{6 + \sqrt{5}}{3}$(舍去)。
②如图2,作$PE\perp CD$于点$E$，则$\angle PEQ = 90^{\circ}$。
$\because\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$BCEP$是矩形。
$\therefore PE = BC = 2cm$，$BP = CE = (6 - 2t)cm$。
$\because CQ = t(cm)$，$\therefore QE = t - (6 - 2t) = (3t - 6)cm$。
在$Rt\triangle PEQ$中，由勾股定理得$(3t - 6)^{2} + 4 = 9$，解得$t = \frac{6 + \sqrt{5}}{3}$或$t = \frac{6 - \sqrt{5}}{3}$(舍去)。
综上所述，$t = \frac{6 - \sqrt{5}}{3}$或$\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。
(3)$\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$，$\frac{6}{5}$，$\frac{- 6 + 2\sqrt{33}}{3}$。