《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

10. 某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽度为 $AB$(单位：m),现以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴,以抛物线的对称轴为 $y$ 轴建立如图的平面直角坐标系,设坐标原点为点 $O$。已知 $AB = 8m$,设抛物线的函数解析式为 $y = ax^{2}-4$。
(1)求 $a$ 的值。
(2)$C(-1,m)$ 是抛物线上一点,$C$ 关于原点 $O$ 的对称点为点 $D$,连接 $CD$,$BC$,$BD$,求 $\triangle BCD$ 的面积。

答案：
(1)$\because AB = 8$，$\therefore B(4,0)$.把点$B$的坐标代入解析式，得$16a - 4 = 0$，解得$a = \frac{1}{4}$.
(2)如图，过点$C$作$CE\perp AB$于点$E$，过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$.由
(1)得，$a = \frac{1}{4}$，$\therefore y = \frac{1}{4}x^2 - 4$.令$x = -1$，则$m = \frac{1}{4}×(-1)^2 - 4 = -\frac{15}{4}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-1,-\frac{15}{4})$.$\because$点$C$关于原点的对称点为点$D$，$\therefore$点$D$的坐标为$(1,\frac{15}{4})$.$\therefore CE = DF = \frac{15}{4}$，$\therefore S_{\triangle BCD} = S_{\triangle BOD} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OB\cdot DF + \frac{1}{2}OB\cdot CE = \frac{1}{2}×4×\frac{15}{4} + \frac{1}{2}×4×\frac{15}{4} = 15$.$\therefore\triangle BCD$的面积为$15m^2$.

11. 【陕西】某景点的“喷水巨龙”口中 $C$ 处的水流呈抛物线形,该水流喷出的高度 $y$(m)与水平距离 $x$(m)之间的关系如图,$D$ 为该水流的最高点,$DA\perp OB$,垂足为 $A$。已知 $OC = OB = 8m$,$OA = 2m$,则该水流距水平面的最大高度 $AD$ 为(A)。

A.9m
B.10m
C.11m
D.12m

答案： A

12. 【仙桃】如图为一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为 4m 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m,当水面下降 1m 时,水面的宽为$2\sqrt{6}$m。

答案： $2\sqrt{6}$

13. 如图 1,足球场上守门员在 $O$ 处开出一高球。球从离地面 1m 的 $A$ 处飞出($A$ 在 $y$ 轴上),把球看成点,其运行的高度 $y$(单位：m)与运行的水平距离 $x$(单位：m)满足关系式 $y = a(x - 6)^{2}+h$。
(1)①当此球开出后,若飞行的最高点距离地面为 4m,求 $y$ 与 $x$ 满足的关系式。
②在①的情况下,足球落地点 $C$ 距守门员多少米？(取 $4\sqrt{3}\approx7$)
③如图 2,若在①的情况下,足球落地后又一次弹起。据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半。求：站在距离 $O$ 点 6m 的 $B$ 处的球员甲要抢到第二个落点 $D$ 处的球。他应再向前跑多少米？(取 $2\sqrt{6}\approx5$)
(2)球员乙身高为 1.75m,在距 $O$ 点 11m 的 $H$ 处,试图原地跃起用头拦截,守门员调整开球高度。若保证足球下落至 $H$ 正上方时低于球员乙的身高,同时落地点距 $O$ 点不超过 15m,求 $h$ 的取值范围。

答案：
(1)①当$h = 4$时，$y = a(x - 6)^2 + 4$，又$\because A(0,1)$，$\therefore1 = a(0 - 6)^2 + 4$，$\therefore a = -\frac{1}{12}$.$\therefore y = -\frac{1}{12}(x - 6)^2 + 4$.②令$y = 0$，则$0 = -\frac{1}{12}(x - 6)^2 + 4$，解得$x_1 = 4\sqrt{3} + 6\approx13$，$x_2 = -4\sqrt{3} + 6＜0$（舍去），$\therefore$足球落地点距守门员约 13m.③$\because$足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，$\therefore$设抛物线$CD$的函数解析式为$y = -\frac{1}{12}(x - k)^2 + 2$.将$C(13,0)$代入，得$0 = -\frac{1}{12}(13 - k)^2 + 2$，解得$k_1 = 13 - 2\sqrt{6}$（舍去），$k_2 = 13 + 2\sqrt{6}$，$\therefore$抛物线$CD$的函数解析式为$y = -\frac{1}{12}(x - 13 - 2\sqrt{6})^2 + 2$.当$y = 0$时，$0 = -\frac{1}{12}(x - 13 - 2\sqrt{6})^2 + 2$，解得$x_1 = 13$，$x_2 = 13 + 4\sqrt{6}$.$\therefore BD = 13 + 4\sqrt{6} - 6 = 7 + 4\sqrt{6}\approx17(m)$.$\therefore$他应再向前跑 17m.
(2)将$x = 0$，$y = 1$代入$y = a(x - 6)^2 + h$，得$a = \frac{1 - h}{36}$.当$x = 11$时，$y = (11 - 6)^2×\frac{1 - h}{36} + h = \frac{25 + 11h}{36}＜1.75$，解得$h＜\frac{38}{11}$；当$x = 15$时，$y = \frac{1 - h}{36}(15 - 6)^2 + h = \frac{9 - 5h}{4}\leq0$，解得$h\geq\frac{9}{5}$，$\therefore\frac{9}{5}\leq h＜\frac{38}{11}$.