《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

13. 已知关于$x的方程x^2 - 2x - 2n = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$n$的取值范围。
(2)若$n＜5$,且方程的两个实数根都是整数,求$n$的值。

答案：
(1)由原方程,得$(x - 1)^2 = 2n + 1$。$\because$方程有两个不相等的实数根,$\therefore 2n + 1 ＞ 0,\therefore n ＞ -\frac{1}{2}$。
(2)由原方程,得$(x - 1)^2 = 2n + 1$。$\therefore x = 1 \pm \sqrt{2n + 1}$。$\because$方程的两个实数根都是整数,且$n ＜ 5$,$\therefore 0 ＜ 2n + 1 ＜ 11$,且$2n + 1$是完全平方形式。$\therefore 2n + 1 = 1,2n + 1 = 4$或$2n + 1 = 9$。解得$n = 0,n = \frac{3}{2}$或$n = 4$。

14.【聊城】用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$,配方正确的是(A)。
A.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$
B.$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{2}$
C.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$
D.$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{11}{4}$

答案： A

15.【泰州】已知$3x - y = 3a^2 - 6a + 9$,$x + y = a^2 + 6a - 9$,若$x\leqslant y$,则实数$a$的值为3。

答案： 3

16. 已知$a$,$b$,$c$为整数,且满足$a^2 + b^2 + c^2 + 3＜ab + 3b + 2c$,求$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{abc}$的值。

答案： $\because a,b,c$均为整数,且满足$a^2 + b^2 + c^2 + 3 ＜ ab + 3b + 2c$,$\therefore a^2 + b^2 + c^2 + 3 \leq ab + 3b + 2c - 1$。$\therefore 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 12 \leq 4ab + 12b + 8c - 4$。$\therefore (4a^2 - 4ab + b^2) + (3b^2 - 12b + 12) + (4c^2 - 8c + 4) \leq 0$。$\therefore (2a - b)^2 + 3(b - 2)^2 + 4(c - 1)^2 \leq 0$。$\therefore \left\{\begin{array}{l} 2a - b = 0,\\ b - 2 = 0,\\ c - 1 = 0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = 2,\\ c = 1.\end{array}\right. \therefore (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{abc} = \frac{25}{4}$。