《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

23. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 13cm$,$BC = 10cm$,$AD\perp BC于点D$,动点$P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AD向终点D$运动.设动点运动时间为$t(s)$.
(1)求$AD$的长.
(2)当$\triangle PDC的面积为15cm^{2}$时,求$t$的值.
(3)动点$M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB$上运动.点$M与点P$同时出发,且当点$P运动到终点D$时,点$M$也停止运动.是否存在$t$,使得$S_{\triangle PMD}= \frac{1}{12}S_{\triangle ABC}$？若存在,请求出$t$的值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵AB=AC=13cm，AD⊥BC，
∴BD=CD=1/2BC=5cm，且∠ADC=90°.
∴AD²=AC²-CD²，
∴AD=12cm.
(2)
∵AP=t(cm)，PD=(12-t)cm，
∴S△PDC=1/2PD×DC=15，解得PD=6，
∴t=6.
(3)假设存在t，使得S△PMD=1/12S△ABC=1/12×1/2×10×12=5(cm²).①若点M在线段CD上，即0≤t≤5/2时，PD=(12-t)cm，DM=(5-2t)cm，由S△PMD=1/12S△ABC得1/2(12-t)(5-2t)=5，即2t²-29t+50=0，解得t₁=12.5(不合题意，舍去)，t₂=2.②若点M在射线DB上，即5/2＜t≤12时，DM=(2t-5)cm，由S△PMD=1/12S△ABC得1/2(12-t)(2t-5)=5，即2t²-29t+70=0，解得t₁=29+√281/4，t₂=29-√281/4.综上所述，t的值为2或29+√281/4或29-√281/4时，S△PMD=1/12S△ABC.