《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 已知关于$x的方程k x^{2}-3 x+1= 0$有实数根。
(1)求$k$的取值范围。
(2)若该方程有两个实数根,分别为$x_{1}和x_{2}$,当$x_{1}+x_{1} x_{2}= 4-x_{2}$时,求$k$的值。

答案：
(1)当k=0时,原方程为-3x+1=0,解得x=1/3,
∴k=0符合题意.当k≠0时,原方程为一元二次方程,
∵该一元二次方程有实数根,
∴Δ=(-3)²-4×k×1≥0,解得k≤9/4.综上所述,k的取值范围为k≤9/4.
(2)
∵x₁和x₂是方程kx²-3x+1=0的两个根,
∴x₁+x₂=3/k,x₁x₂=1/k.
∵x₁+x₁x₂=4-x₂,即x₁+x₂+x₁x₂=4,
∴3/k+1/k=4,解得k=1.经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.
∴k的值为1.

9. 已知关于$x的方程x^{2}-m x+m= 0的两根的平方和是3$,则$m$的值是(A)。
A.$-1$
B.1
C.3
D.$-1或3$

答案： A

10. 对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c= 0(a \neq 0)$,有下列说法：①若$a+c= 0$,方程$a x^{2}+b x+c= 0$有两个不等的实数根；②若方程$a x^{2}+b x+c= 0$有两个不等的实数根,则方程$c x^{2}+b x+a= 0$也一定有两个不等的实数根；③若$c是方程a x^{2}+b x+c= 0$的一个根,则一定有$a c+b+1= 0$成立；④若$m是方程a x^{2}+b x+c= 0$的一个根,则一定有$b^{2}-4 a c= (2 a m+b)^{2}$成立。其中正确的是(D)。
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

答案： D

11. 设方程$2 x^{2}-3 x+m= 0的一个根是另一根的2$倍,则$m$的值为1。

答案： 1

12. 若关于$x的方程x^{2}-k|x|+4= 0$有四个不同的解,则$k$的取值范围是k＞4。

答案： k＞4

13. 设$a x^{2}+b x+c= 0(a ≠ 0)的两根为x_{1}, x_{2}$,则有$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}, x_{1} x_{2}= \frac{c}{a}$。
请利用这一结论解决下列问题：
(1)若矩形的长和宽是方程$4 x^{2}-13 x+3= 0$的两根,则矩形的周长为$\frac{13}{2}$,面积为$\frac{3}{4}$。
(2)若$2+\sqrt{3}是x^{2}-4 x+c= 0$的一个根,求方程的另一个根及$c$的值。
设方程的另一根为$x_1$，依题意得$\begin{cases}x_1+(2+\sqrt{3})=4\\x_1(2+\sqrt{3})=c\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=2-\sqrt{3}\\c=1\end{cases}$
(3)直角三角形的斜边长是$5$,另两条直角边的长分别是$x$的方程：$x^{2}+(2 m-1) x+m^{2}+3= 0$的解,求$m$的值。
设两条直角边的长分别为$a,b$，依题意得：$\begin{cases}a+b=-(2m-1)\\ab=m^2+3\\a^2+b^2=5^2\end{cases}$
∵$(a+b)^2=[-(2m-1)]^2=4m^2-4m+1$，$a^2+2ab+b^2=5^2+2(m^2+3)$，
∴$4m^2-4m+1=25+2(m^2+3)$，即$m^2-2m-15=0$。解得$m_1=-3$，$m_2=5$。当$m=5$时，$a+b=-(2m-1)=-(2×5-1)=-9＜0$（不合题意，舍去）。
∴$m$的值为$-3$。

答案：
(1)长与宽的和为13/4,长与宽的积为3/4,
∴矩形周长为2×13/4=13/2,矩形的面积为3/4.
(2)设方程的另一根为x₁,依题意得{x₁+(2+√3)=4,{x₁(2+√3)=c解得{x₁=2-√3,{c=1.
(3)设两条直角边的长分别为a,b,依题意得:{a+b=-(2m-1),{ab=m²+3,{a²+b²=5².
∵(a+b)²=[-(2m-1)]²=4m²-4m+1,a²+2ab+b²=5²+2(m²+3),
∴4m²-4m+1=25+2(m²+3),即m²-2m-15=0.解得m₁=-3,m₂=5.当m=5时,a+b=-(2m-1)=-(2×5-1)=-9＜0(不合题意,舍去).
∴m的值为-3.