《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

12. 【乐山】如图,直线 $a$,$b$ 垂直相交于点 $O$,曲线 $C$ 关于点 $O$ 成中心对称,点 $A$ 的对称点是点 $A'$,$AB\perp a$ 于点 $B$,$A'D\perp b$ 于点 $D$. 若 $OB = 3$,$OD = 2$,则阴影部分的面积之和为 6.

答案： 6

13. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在 $AD$ 上,$EC$ 平分 $\angle BED$.
(1) 试判断 $\triangle BEC$ 是否为等腰三角形,并说明理由.
(2) 若 $AB = 1$,$\angle ABE = 45^{\circ}$,求 $BC$ 的长.
(3) 在原图中画 $\triangle FCE$,使它与 $\triangle BEC$ 关于 $CE$ 的中点 $O$ 成中心对称,此时四边形 $BCFE$ 是什么特殊平行四边形？请说明理由.

答案：
(1)△BEC 是等腰三角形,理由如下：
∵AD//BC,
∴∠DEC=∠BCE.
∵EC 平分∠BED,∠DEC=∠BEC.
∴∠BEC=∠BCE.
∴△BEC 是等腰三角形.
(2)
∵在 Rt△ABE 中,∠ABE=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°.
∴AB=AE=1.
∴BE=$\sqrt{2}$.
∴BC=$\sqrt{2}$.
(3)
∵△FCE 与△BEC 关于 CE 的中点 O 中心对称,
∴OB=OF,OE=OC.
∴四边形 BCFE 是平行四边形. 又
∵BC=BE,
∴四边形 BCFE 是菱形.

14. 如图,$\triangle ABM$ 与 $\triangle ACM$ 关于直线 $AF$ 成轴对称,$\triangle ABE$ 与 $\triangle DCE$ 关于点 $E$ 中心对称,点 $E$,$D$,$M$ 都在线段 $AF$ 上,$BM$ 的延长线交 $CF$ 于点 $P$.
(1) 求证：$AC = CD$.
(2) 若 $\angle BAC = 2\angle MPC$,请你判断 $\angle F$ 与 $\angle MCD$ 的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵△ABM 与△ACM 关于直线 AF 轴对称,
∴△ABM≌△ACM.
∴AB=AC. 又
∵△ABE 与△DCE 关于点 E 中心对称,
∴△ABE≌△DCE.
∴AB=CD.
∴AC=CD.
(2)∠F=∠MCD.理由如下:由
(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA.
∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,
∴设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α. 设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β, ∠MCD=∠CDE-∠CMA=α-β.
∴∠F=∠MCD.