《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

10. 将关于$x的一元二次方程x^{2}-px + q = 0$变形为$x^{2}= px - q$,就可以将$x^{2}表示为关于x$的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如$x^{3}= x\cdot x^{2}= x(px - q)=… $,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知：$x^{2}-x - 1 = 0$,且$x\gt0$,则$x^{4}-2x^{3}+3x$的值为(C).
A.$1-\sqrt{5}$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$3+\sqrt{5}$

答案： C 【解析】
∵x²-x-1=0，
∴x²=x+1.
∴x³=x·x²=x(x+1)=x²+x=x+1+x=2x+1，
x⁴=x·x³=x(2x+1)=2x²+x=2(x+1)+x=3x+2.
∴x⁴-2x³+3x=3x+2-2(2x+1)+3x=3x+2-4x-2+3x=2x.解方程x²-x-1=0得x₁=1+√5/2，x₂=1-√5/2，
∵x＞0，
∴x=1+√5/2.
∴x⁴-2x³+3x=2×1+√5/2=1+√5.故选C.

11. 方程$x(2x - 1)= 2x - 1$的根为x₁=1/2，x₂=1.

答案： x₁=1/2，x₂=1

12. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+6x + k = 0$有两个相等的实数根,则实数$k$的值为9.

答案： 9

13. 已知$m是关于x的方程x^{2}-2x - 7 = 0$的一个根,则$2(m^{2}-2m)= $14.

答案： 14

14. 已知关于$x的一元二次方程mx^{2}-2(m + 2)x + m = 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,若$x_{1}+x_{2}= 2m$,则$m$的值是2.

答案： 2

15. 若关于$x的一元二次方程(a + 1)x^{2}+4x + a^{2}-1 = 0的一个根是0$,则$a= $1.

答案： 1

16. 如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的$2$倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.下列关于“倍根方程”的说法：①方程$x^{2}-x - 2 = 0$是“倍根方程”；②若$(x - 2)(mx + n)= 0$是“倍根方程”,则$4m^{2}+5mn + n^{2}= 0$；③若$p$,$q满足pq = 2$,则关于$x的方程px^{2}+3x + q = 0$是“倍根方程”；④若方程$ax^{2}+bx + c = 0$是“倍根方程”,则必有$2b^{2}= 9ac$.其中正确的有②③④(填序号).

答案： ②③④

17. 用适当的方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-4x + 1 = 0$. (2)$(x - 2)(x - 3)= 12$.
(3)$9(x - 3)^{2}-4(x - 2)^{2}= 0$. (4)$(3x - 11)(x - 2)= 2$.

答案：
(1)x₁=2+√2/2，x₂=2-√2/2.
(2)x₁=6，x₂=-1.
(3)x₁=13/5，x₂=5.
(4)x₁=5/3，x₂=4.