《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

14. 【泸州】关于$x的一元二次方程x^{2}+2 m x+m^{2}-m= 0的两实数根x_{1}, x_{2}$,满足$x_{1} x_{2}= 2$,则$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值是(B)。
A.8
B.32
C.8或32
D.16或40

答案： B

15. 【南通】若$m, n是一元二次方程x^{2}+3 x-1= 0$的两个实数根,则$\frac{m^{3}+m^{2} n}{3 m-1}$的值为______。

答案： 3

16. 已知关于$x的方程x^{2}-k x+k^{2}+n= 0有两个不相等的实数根x_{1}, x_{2}$,且$(2 x_{1}+x_{2})^{2}-8(2 x_{1}+x_{2})+15= 0$。
(1)求证：$n＜0$。
(2)试用$k的代数式表示x_{1}$。
(3)当$n= -3$时,求$k$的值。

答案：
(1)
∵关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=k²-4(k²+n)=-3k²-4n＞0.
∴n＜-3/4k².又
∵-k²≤0,
∴n＜0.
(2)
∵(2x₁+x₂)²-8(2x₁+x₂)+15=0,x₁+x₂=k,
∴(x₁+x₁+x₂)²-8(x₁+x₁+x₂)+15=0.
∴(x₁+k)²-8(x₁+k)+15=0.
∴[(x₁+k)-3][(x₁+k)-5]=0.
∴x₁+k=3或x₁+k=5,
∴x₁=3-k或x₁=5-k.
(3)
∵n＜-3/4k²,n=-3,
∴k²＜4,即-2＜k＜2.原方程化为x²-kx+k²-3=0,把x₁=3-k代入,得到k²-3k+2=0,解得k₁=1,k₂=2(不合题意,舍去);把x₂=5-k代入,得到3k²-15k+22=0,Δ=-39＜0,
∴此时k不存在.
∴k=1.