《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

7. 如图,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$C,D是\overset{\frown}{AB}$的三等分点,连接$AB分别交OC,OD于点E,F$.
求证:$AE = BF = CD$.

答案： 连接AC,BD.
∵∠AOB=90°,C,D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD,∠AOC=∠COD=∠BOD=$\frac{1}{3}$∠AOB =30°.
∵OA=OC=OB=OD,
∴∠OCA=∠ODB=75°,∠OAB=∠OBA=45°.
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=75°,∠OFE=75°.
∴∠AEC=∠ACE,∠BFD=∠BDF;
∴AE=AC,BF=BD.
∴AE=BF=CD.

8. 如图,$\odot O与\triangle ABC三边相交截得的线段DE = FG = HK$,$\angle A = 50^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(C).

A.$130^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$105^{\circ}$

答案： C

9. 如图,在半径为$5的\odot A$中,弦$BC,ED所对的圆心角分别是\angle BAC,\angle EAD$.已知$DE = 6$,$\angle BAC+\angle EAD = 180^{\circ}$,则$BC$的弦心距等于(D).

A.$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{34}}{2}$
C.$4$
D.$3$

答案： D

10. 如图,$C是\odot O直径AB$上一点,过点$C作弦DE$,使$CD = CO$,若$\overset{\frown}{AD}所对圆心角度数为40^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BE}$所对圆心角度数为120°.

答案： 120°

11. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(10,0)$,以$OA为直径在第一象限内作半圆C$,点$B$是该半圆周上的一动点,连接$AB$,并延长$AB至点D$,使$DB = AB$,连接$OD交半圆C于点F$,连接$CF$,过点$D作x$轴的垂线,交$x轴于点E$.当$\angle ACF = 120^{\circ}$时,$\overset{\frown}{BF}$的度数是60°;当$DE = 8$时,线段$AE$的长是4.

答案： 60°　4

12. 如图,$AB为\odot O$的弦,半径$OC,OD分别交AB于点E,F$,且$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{DB}$.
(1)求证:$OE = OF$.
(2)作半径$ON\perp AB于点M$,若$AB = 8$,$MN = 2$,求$OM$的长.

答案：
(1)如图1,连接OA,OB.
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$,
∴∠AOE=∠BOF;在△AOE和△BOF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B,\\ OA=OB,\\ ∠AOE=∠BOF,\end{array}\right. $
∴△AOE≌△BOF;
∴OE=OF;
(2)如图2,连接OA.
∵OM⊥AB,
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=4.设OM=x,则OA=ON=x+2.在Rt△AOM中,由勾股定理得$4^{2}+x^{2}=(x+2)^{2}$,解得x=3.
∴OM=3.