《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot C$ 过原点,且与两坐标轴分别交于点 $A$,$B$,点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$,$M$ 是第三象限内 $\overset{\frown}{OB}$ 上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$,则 $\odot C$ 的半径为(C)。

A.$6$
B.$5$
C.$3$
D.$2$

答案： C

9. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$F$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 上一点,且 $\overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$,连接 $CF$ 并延长交 $AD$ 的延长线于点 $E$,连接 $AC$。若 $\angle ABC = 105^{\circ}$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,则 $\angle E$ 的度数为(A)。

A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： A

10. 如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$\odot O$ 经过点 $A$,$C$,$D$,与 $BC$ 相交于点 $E$,连接 $AC$,$AE$。若 $\angle D = 78^{\circ}$,则 $\angle EAC = $27°。

答案： 27°

11. 如图,在 $\odot O$ 内接四边形 $ABCD$ 中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = BC = 6$,$E$,$F$ 分别是 $AD$,$CD$ 的中点,连接 $BE$,$BF$,$EF$。若四边形 $ABCD$ 的面积为 $11\sqrt{3}$,则 $\triangle BEF$ 的面积为$5\sqrt{3}$。

答案： $5\sqrt{3}$ 【解析】如图,连接 AC,作 BM 垂直 EF 于点 M,交 AC 于点 N.
∵AE = ED,DF = FC,
∴EF//AC,EF = $\frac{1}{2}$AC.
∵BM⊥EF,
∴BM⊥AC.
∵BA = BC,∠ABC = 60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∵AB = BC = AC = 6,
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$.
∵四边形 ABCD 的面积为$11\sqrt{3}$,
∴$S_{\triangle ADC}=2\sqrt{3}$.
∴$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ADC}=9:2$.
∴BN:MN = 9:1.
∵$BN=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$,
∴$MN=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴$BM=\frac{10\sqrt{3}}{3}$. 又
∵$EF=\frac{1}{2}AC=3$,
∴$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}\cdot EF\cdot BM=\frac{1}{2}×3×\frac{10\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$.

12. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,$\angle D = 90^{\circ}$,$P$ 为 $\overset{\frown}{CD}$ 上一动点(不与点 $C$,$D$ 重合)。
(1)若 $\angle BPC = 30^{\circ}$,$BC = 3$,求 $\odot O$ 的半径。
(2)若 $\angle A = 90^{\circ}$,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AB}$,求证：$PB - PD = \sqrt{2}PC$。

答案：
(1)如图,连接 AC.
∵∠D = 90°,
∴AC 是$\odot O$的直径.
∵∠BAC = ∠P = 30°,
∴AC = 2BC = 6.
∴$\odot O$的半径为 3.
(2)
∵∠A = 90°,
∴∠BCD = 90°.
∵AC 为$\odot O$直径,
∴∠D = ∠ABC = 90°.
∴四边形 ABCD 为矩形.
∵$\widehat{AD}=\widehat{AB}$,
∴AB = AD.
∴矩形 ABCD 为正方形.在 BP 上截取 BE = DP,由 SAS 易证△BCE≌△DCP.
∴PC = CE,∠BCE = ∠DCP.
∵∠ECP = ∠ECD + ∠DCP = ∠ECD + ∠BCE = 90°,
∴△CPE 为等腰直角三角形.
∴$PE=\sqrt{2}PC$.
∴$PB = PD+\sqrt{2}PC$.即$PB - PD=\sqrt{2}PC$.