《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

10. 【临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度 $ h $(单位： $ m $)与足球被踢出后经过的时间 $ t $(单位： $ s $)之间的关系如下表. 下列结论：①足球距离地面的最大高度为 $ 20m $；②足球飞行路线的对称轴是直线 $ t = \dfrac{9}{2} $；③足球被踢出 $ 9s $ 时落地；④足球被踢出 $ 1.5s $ 时,距离地面的高度是 $ 11m $. 其中结论正确的个数是(B).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： B

11. 【衢州】某农场拟建三间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长 $ 50m $),中间用两道墙隔开(如图). 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 $ 48m $,则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 $ m^{2} $.

答案： 144

12. 如图 1,某公园有一斜坡形的草坪,其倾斜角为 $ 30^{\circ} $,该斜坡上有一棵小树 $ AB $(垂直于水平面),树高 $ \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} - \dfrac{1}{3} \right)m $. 现给该草坪洒水,已知点 $ A $ 与喷水口点 $ O $ 的距离 $ OA = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}m $,建立如图 2 的平面直角坐标系,在喷水的过程中,水运行的路线是抛物线 $ y = -\dfrac{1}{3}x^{2} + bx $,且恰好过点 $ B $,最远落在草坪的点 $ C $ 处.
(1)求 $ b $ 的值.
(2)求直线 $ OC $ 的函数解析式.
(3)在喷水路线上是否存在一点 $ P $ 使 $ \triangle POC $ 的面积最大? 若存在,请求出点 $ P $ 的坐标和此时的 $ S_{\triangle POC} $；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)点B的横坐标x = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 1,点B的纵坐标y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + ($\frac{2\sqrt{3}}{3}$ - $\frac{1}{3}$) = $\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$,
∴点B的坐标为(1,$\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$).将B(1,$\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$)代入y = - $\frac{1}{3}$x² + bx,得$\sqrt{3}$ - $\frac{1}{3}$ = - $\frac{1}{3}$×1² + b,解得b = $\sqrt{3}$.
(2)
∵直线OC的倾斜角为30°,点A与喷水口点O的距离OA为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m,
∴点A的坐标为(1,$\frac{\sqrt{3}}{3}$).设直线OC的函数解析式为y = kx,将点A(1,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)代入，得k = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴直线OC的函数解析式为y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x.
(3)联立$\begin{cases}y = \frac{\sqrt{3}}{3}x\\y = - \frac{1}{3}x² + \sqrt{3}x\end{cases}$解得$\begin{cases}x₁ = 0\\y₁ = 0\end{cases}$,$\begin{cases}x₂ = 2\sqrt{3}\\y₂ = 2\end{cases}$
∴点C的坐标为(2$\sqrt{3}$,2).
∴OC = 4.如图,设P(x,- $\frac{1}{3}$x² + $\sqrt{3}$x).过点P作PH⊥OC于点H,PN⊥x轴,交OC于点M,则PH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$PM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$×(- $\frac{1}{3}$x² + $\sqrt{3}$x - $\frac{\sqrt{3}}{3}$x)= - $\frac{\sqrt{3}}{6}$x² + x.
∴S△POC = $\frac{1}{2}$OC×PH = $\frac{1}{2}$×4×(- $\frac{\sqrt{3}}{6}$x² + x)= - $\frac{\sqrt{3}}{3}$x² + 2x = - $\frac{\sqrt{3}}{3}$(x - $\sqrt{3}$)² + $\sqrt{3}$.
∴当x = $\sqrt{3}$时，S△POC最大为$\sqrt{3}$.
∴存在一点P($\sqrt{3}$,2),使△POC的面积最大,此时S△POC = $\sqrt{3}$.