《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 二次函数 $ y = a(x - m)^2 $ 的图象如图,已知 $ a = \frac{1}{2} $,$ OA = OC $,则该抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$(用顶点式表示)。

答案： $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$

9. 一次函数 $ y = ax + b $ 与二次函数 $ y = a(x + b)^2 $ 在同一直角坐标系中的图象可能是①③(填序号)。

答案： ①③

10. 【凉山州】如图,已知抛物线 $ y = x^2 - (m + 3)x + 9 $ 的顶点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上,一次函数 $ y = x + 3 $ 的图象与抛物线交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ x $,$ y $ 轴交于 $ D $,$ E $ 两点。
(1) 求 $ m $ 的值。
(2) 求 $ A $,$ B $ 两点的坐标。
(3) 若点 $ P(a, b)(-3 ＜ a ＜ 1) $ 是抛物线上一点,当 $ \triangle PAB $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 面积的 2 倍时,求 $ a $,$ b $ 的值。

答案：
(1)$\because$抛物线$y=x^2-(m+3)x+9$的顶点C在x轴正半轴上,$\therefore$方程$x^2-(m+3)x+9=0$有两个相等的实数根.$\therefore (m+3)^2-4×9=0$,解得$m=3$或$m=-9$.又$\because$抛物线对称轴在y轴右侧,即$m+3＞0$,$\therefore m=3$.
(2)由
(1)可知抛物线解析式为$y=x^2-6x+9$,联立一次函数$y=x+3$,可得$\begin{cases} y=x^2-6x+9, \\ y=x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=4, \end{cases}$或$\begin{cases} x=6, \\ y=9, \end{cases}$$\therefore A(1,4),B(6,9)$.
(3)如图,分别过A,B,P三点作x轴的垂线,垂足分别为R,S,T.$\because A(1,4),B(6,9),C(3,0),P(a,b)$,$\therefore AR=4,BS=9,RC=3-1=2,CS=6-3=3,RS=6-1=5,PT=b,RT=1-a,ST=6-a$.$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{梯形ABSR}-S_{\triangle ARC}-S_{\triangle BCS}=\frac{1}{2}×(4+9)×5-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×9=15$,$S_{\triangle PAB}=S_{梯形PBST}-S_{梯形PRAT}-S_{梯形ABSR}=\frac{1}{2}(9+b)(6-a)-\frac{1}{2}(b+4)(1-a)-\frac{1}{2}×(4+9)×5=\frac{1}{2}(5b-5a-15)$.又$\because S_{\triangle PAB}=2S_{\triangle ABC}$,$\therefore \frac{1}{2}(5b-5a-15)=30$,即$b-a=15$.$\therefore b=15+a$.$\because P$点在抛物线上,$\therefore b=a^2-6a+9$.$\therefore 15+a=a^2-6a+9$,解得$a=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$.$\because -3＜a＜1$,$\therefore a=\frac{7-\sqrt{73}}{2}$,$b=15+\frac{7-\sqrt{73}}{2}=\frac{37-\sqrt{73}}{2}$.

11. 【丽水】将函数 $ y = x^2 $ 的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点 $ A(1, 4) $ 的是(D)。
A.向左平移 1 个单位
B.向右平移 3 个单位
C.向上平移 3 个单位
D.向下平移 1 个单位

答案： D

12. 【泰州】在函数 $ y = (x - 1)^2 $ 中,当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。(填“增大”或“减小”)

答案： 增大

13. 【广西】如图,已知点 $ A(3, 0) $,$ B(1, 0) $,$ C(-3, 9) $,$ D(2, 4) $ 两点在抛物线 $ y = x^2 $ 上,向左或向右平移抛物线后,$ C $,$ D $ 的对应点分别为 $ C' $,$ D' $。当四边形 $ ABC'D' $ 的周长最小时,抛物线的解析式为$y=(x-\frac{25}{13})^2$。

答案： $y=(x-\frac{25}{13})^2$【解析】如图,过点C,D作x轴平行线,作点A关于直线$y=4$的对称点$A'$,过点$A'$作$A'E// CD$,且$A'E=CD$,连接BE交直线$y=9$于点$C'$,过点$C'$作$C'D'// CD$,交直线$y=4$于点$D'$.作图可知:四边形$A'ECD$和四边形$C'D'DC$是平行四边形,$\therefore A'E// CD$,$C'D'// CD$,且$A'E=CD$,$C'D'=CD$.$\therefore C'D'// A'E$且$C'D'=A'E$.$\therefore$四边形$A'EC'D'$是平行四边形.$\therefore A'D'=EC'$.$\because$点A关于直线$y=4$的对称点为$A'$,$\therefore AD'=A'D'$.$\therefore EC'=AD'$.$\therefore BE=BC'+EC'=BC'+AD'$,即此时$BC'+AD'$转化到一条直线上,$BC'+AD'$最小,最小值为BE的长度.而AB,CD为定值,$\therefore$此时四边形$ABC'D'$的周长最小.$\because A(3,0)$关于直线$y=4$的对称点为$A'$,$\therefore A'(3,8)$.$\because$四边形$A'ECD$是平行四边形,$C(-3,9),D(2,4)$,$\therefore E(-2,13)$.设直线BE的解析式为$y=kx+b$,则$\begin{cases} 0=k+b, \\ 13=-2k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{13}{3}, \\ b=\frac{13}{3}. \end{cases}$$\therefore$直线BE的解析式为$y=-\frac{13}{3}x+\frac{13}{3}$.令$y=9$得$9=-\frac{13}{3}x+\frac{13}{3}$,$\therefore x=-\frac{14}{13}$.$\therefore C'(-\frac{14}{13},9)$.$\therefore CC'=-\frac{14}{13}-(-3)=\frac{25}{13}$.$\therefore$将抛物线$y=x^2$向右平移$\frac{25}{13}$个单位后,四边形$ABC'D'$的周长最小,此时抛物线为$y=(x-\frac{25}{13})^2$.