《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

9. 关于$x的方程(x + 1)^{2}-m = 0$(其中$m\geq0$)的解为(D)。
A.$x = -1 + m$
B.$x = -1+\sqrt{m}$
C.$x = -1\pm m$
D.$x = -1\pm\sqrt{m}$

答案： D

10. 若$a为方程(x-\sqrt{17})^{2}= 100$的一个根,$b为方程(y - 4)^{2}= 17$的一个根,且$a,b$都是正数,则$a - b$的值是(B)。
A.$5$
B.$6$
C.$\sqrt{83}$
D.$10-\sqrt{17}$

答案： B

11. 关于$x的方程m(x + h)^{2}+k = 0$($m,h,k$均为常数,$m\neq0$)的解是$x_{1}= -3,x_{2}= 2$,则方程$m(x + h - 3)^{2}+k = 0$的解是(B)。
A.$x_{1}= -6,x_{2}= -1$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= 5$
C.$x_{1}= -3,x_{2}= 5$
D.$x_{1}= -6,x_{2}= 2$

答案： B

12. 若一元二次方程$ax^{2}= b(ab\gt0)的两根分别是m + 1与2m - 4$,则这两根为$\pm 2$。

答案： $\pm 2$

13. 在实数范围内定义一种运算“$*$”,其规则为$a*b = a^{2}-2ab + b^{2}$,根据这个规则求方程$(x - 4)*1 = 0$的解为$x_{1}=x_{2}=5$。

答案： $x_{1}=x_{2}=5$

14. 把关于$x的一元二次方程x^{2}-3x + p = 0$配方,得$(x + m)^{2}= \frac{1}{2}$。
(1)求$m和p$的值。
(2)求出该方程的解。

答案：
(1)移项,得$x^{2}-3x=-p$,配方,得$(x-\frac{3}{2})^{2}=-p+\frac{9}{4}$.$\because (x-\frac{3}{2})^{2}=-p+\frac{9}{4}$与$(x+m)^{2}=\frac{1}{2}$是同一个方程,$\therefore m=-\frac{3}{2},-p+\frac{9}{4}=\frac{1}{2}$,解得$m=-\frac{3}{2},p=\frac{7}{4}$.
(2)$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{1}{2}$,开方,得$x-\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore x_{1}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},x_{2}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

15. 【赤峰】一元二次方程$x^{2}-8x - 2 = 0$,配方后可变形为(A)。
A.$(x - 4)^{2}= 18$
B.$(x - 4)^{2}= 14$
C.$(x - 8)^{2}= 64$
D.$(x - 4)^{2}= 1$

答案： A

16. 【扬州】方程$(x + 1)^{2}= 9$的根是$x_{1}=2,x_{2}=-4$。

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-4$

17. 已知$a,b,c是\triangle ABC$的三边,且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ca = 0$,试判定$\triangle ABC$的形状并说明理由。

答案： $\triangle ABC$是等边三角形.理由如下:在已知等式两边乘2,得$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$.拆项、配方,得$(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0,(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$.由完全平方式的性质,得$a-b=0,b-c=0,c-a=0$.$\therefore a=b=c$.故$\triangle ABC$是等边三角形.