《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 设$x_{1}为一元二次方程2x^{2} - 4x = \frac{5}{4}$较小的根,则(B).
A.$0 ＜ x_{1} ＜ 1$
B.$-1 ＜ x_{1} ＜ 0$
C.$-2 ＜ x_{1} ＜ -1$
D.$-5 ＜ x_{1} ＜ -\frac{9}{2}$

答案： B

9. 小刚在解关于$x的方程ax^{2} + bx + c = 0(a ≠ 0)$时,只抄对了$a = 1,b = 4$,解出其中一个根是$x = -1$. 他核对时发现所抄的$c比原方程的c值小2$,则原方程的根的情况是(A).
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x = -1$
D.有两个相等的实数根

答案： A

10. 已知关于$x的一元二次方程kx^{2} - (2k - 1)x + k - 2 = 0$有两个不相等的实数根,则实数$k$的取值范围是$ k＞-\frac{1}{4} $且$ k\neq 0 $.

答案： $ k＞-\frac{1}{4} $且$ k\neq 0 $

11. 若关于$x的一元二次方程ax^{2} + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根,则$\frac{1}{a} + c = $2.

答案： 2

12. 如果$a^{2} + b^{2} = c^{2}$,那么把形如$ax^{2} + \sqrt{2}cx + b = 0(a \neq 0)$的方程称为“勾系方程”.
(1)当$a = 3,b = 4$时,写出相应的“勾系方程”：$3x^{2}+5\sqrt{2}x+4=0$或$3x^{2}-5\sqrt{2}x+4=0$.
(2)求证：关于$x$的“勾系方程”$ax^{2} + \sqrt{2}cx + b = 0(a \neq 0)$必有实数根.
∵$a\neq 0$,$ \Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq 0 $,∴关于x的"勾系方程"$ ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0(a\neq 0) $必有实数根.

答案：
(1)当$ a=3,b=4 $时,$ c^{2}=3^{2}+4^{2}=25 $,
∴$ c=\pm 5 $.
∴相应的"勾系方程"为$ 3x^{2}+5\sqrt{2}x+4=0 $或$ 3x^{2}-5\sqrt{2}x+4=0 $.
(2)
∵$ a\neq 0 $,$ \Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq 0 $,
∴关于x的"勾系方程"$ ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0(a\neq 0) $必有实数根.

13. 阅读材料：方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)的根是x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$. 方程$y^{2} + by + ac = 0的根是y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2}$. 因此,要求$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$的根,只要求出方程$y^{2} + by + ac = 0$的根,再除以$a$就可以了.

例：解方程$72x^{2} + 8x + \frac{1}{6} = 0$.
解：先解方程$y^{2} + 8y + 72×\frac{1}{6} = 0$,解得$y_{1} = -2,y_{2} = -6$.
$\therefore方程72x^{2} + 8x + \frac{1}{6} = 0的两根是x_{1} = \frac{-2}{72},x_{2} = \frac{-6}{72}$,即$x_{1} = -\frac{1}{36},x_{2} = -\frac{1}{12}$.
请按上述材料中所提供的方法解方程$49x^{2} + 6x - \frac{1}{7} = 0$.

答案： 先解方程$ y^{2}+6y-49× \frac{1}{7}=0 $,即$ y^{2}+6y-7=0 $,解得$ y_{1}=1,y_{2}=-7 $.
∴方程$ 49x^{2}+6x-\frac{1}{7}=0 $的解为$ x_{1}=\frac{1}{49},x_{2}=-\frac{1}{7} $.