《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

12. 【义乌】如图,将$Rt\triangle ABC绕直角顶点C顺时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle A'B'C$,连接$AA'$,若$\angle 1 = 20^{\circ}$,则$\angle B$的度数是(B).

A.$70^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： B

13. 【滨州】如图,$P是正方形ABCD$内一点,且点$P到点A$,$B$,$C的距离分别为2\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$,$4$,则正方形$ABCD$的面积为______.

14+4√3

答案： 14+4√3　[解析]如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于点H.
∵BP=BM=√2,∠PBM=90°,
∴PM=√2PB=2.
∵PC=4,PA=CM=2√3,
∴PC²=CM²+PM².
∴∠PMC=90°.
∵∠BPM=∠BMP=45°,
∴∠CMB=∠APB=135°.
∴∠APB+∠BPM=180°.
∴A,P,M三点共线.
∵BH⊥PM,
∴PH=HM;
∴BH =PH=HM=1.
∴AH=2√3+1.
∴AB²=AH²+BH²=(2√3+1)²+1²=14+4√3.
∴正方形ABCD的面积为14+4√3

14. 小伟遇到这样一个问题：如图$1$,在$\triangle ABC$(其中$\angle BAC$是一个可以变化的角)中,$AB = 2$,$AC = 4$,以$BC为边在BC的下方作等边三角形PBC$,求$AP$的最大值.
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点$B为旋转中心将\triangle ABP逆时针旋转60^{\circ}得到\triangle A'BC$,连接$A'A$,当点$A落在A'C$上时,此题可解(如图$2$). 请你回答：
(1)$AP$的最大值是______.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题：如图$3$,等腰直角三角形$ABC$中,边$AB = 4$,$P为\triangle ABC$内部一点,求$AP + BP + CP$的最小值.(结果可以不化简)

(1)$AP$的最大值是6.
(2)参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题：如图$3$,等腰直角三角形$ABC$中,边$AB = 4$,$P为\triangle ABC$内部一点,求$AP + BP + CP$的最小值.(结果可以不化简)
如图,
∵Rt△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC;以B 为旋转中心,将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B.则A'B=AB=BC=4,PA=P'A',PB=P'B,
∴PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC.
∵当A',P',P,C四点共线时,(P'A'+P'P+PC)最短,即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC.
∴A'C长度即为所求.过点A'作A'D⊥CB延长线于点D.
∵∠A'BA=60°(由旋转可知),
∴∠1=30°.
∵A'B=4,
∴A'D=2,BD=2√3.
∴CD=4+2√3.在Rt△A'DC中,A'C=√(A'D²+DC²)=√(2²+(4+2√3)²)=2√2+2√6.
∴AP+BP+CP的最小值是2√2+2√6.

答案：
(1)6
(2)如图,
∵Rt△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC;以B 为旋转中心,将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B.则A'B=AB=BC=4,PA=P'A',PB=P'B,
∴PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC.
∵当A',P',P,C四点共线时,(P'A'+P'P+PC)最短,即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC.
∴A'C长度即为所求.过点A'作A'D⊥CB延长线于点D.
∵∠A'BA=60°(由旋转可知),
∴∠1=30°.
∵A'B=4,
∴A'D=2,BD=2√3.
∴CD=4+2√3.在Rt△A'DC中,A'C=√(A'D²+DC²)=√(2²+(4+2√3)²)=2√2+2√6.
∴AP+BP+CP的最小值是2√2+2√6.