《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 6 $, $ BC = 8 $.
(1)分别以直线 $ AC $, $ BC $ 为轴,把 $ \triangle ABC $ 旋转一周,得到两个不同的圆锥,求这两个圆锥的侧面积.
(2)以直线 $ AB $ 为轴,把 $ \triangle ABC $ 旋转一周,求所得几何体的表面积.

答案：
(1)
∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=$\sqrt{AC² + BC²}$=10.
∴以直线AC为轴,把△ABC旋转一周,得到的圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}$×10×2π×8=80π;以直线BC为轴,把△ABC旋转一周,得到的圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}$×10×2π×6=60π.
(2)作CD⊥AB于点D.
∵$\frac{1}{2}$CD·AB=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴CD=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$.以直线AB为轴,把△ABC旋转一周,所得几何体是以CD为底面半径的两个圆锥(底面重合),则它的表面积=$\frac{1}{2}$×6×2π×$\frac{24}{5}$+$\frac{1}{2}$×8×2π×$\frac{24}{5}$=$\frac{336}{5}$π.

9. 一个圆锥形的零件,如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为 $ 4 cm $ 的等边三角形,那么圆锥的表面积是(C).
A.$ 8\pi cm^2 $
B.$ 10\pi cm^2 $
C.$ 12\pi cm^2 $
D.$ 16\pi cm^2 $

答案： C

10. 如图,点 $ A $, $ B $, $ C $ 在直角坐标系中的坐标为 $ A(1,0) $, $ B(3,0) $, $ C(0,1) $,则 $ \triangle ABC $ 绕 $ y $ 轴旋转一周所得几何体的表面积为3$\sqrt{10}$π + $\sqrt{2}$π + 8π.

答案： 3$\sqrt{10}$π + $\sqrt{2}$π + 8π

11. 如图, $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径, $ AC $ 是弦, $ AC = 3 $, $ \angle BOC = 2\angle AOC $. 若用扇形 $ OAC $(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

12. 如图 1 是我们常用的一次性纸杯,下面我们来研究一次性纸杯的制作方法之一. 如图 2,取一个半径为 $ 18 cm $ 的圆形纸板,再裁下一个半径为 $ 6 cm $ 的同心圆纸板,沿半径 $ OA $, $ OB $ 及 $ CD $, $ AB $ 剪下,由 $ AB $, $ CD $ 及线段 $ AC $ 和 $ BD $ 围成的部分即可围成纸杯侧面,然后在扇形 $ OCD $ 中再截取一个面积最大的圆形纸板.
(1)若 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,利用图 3 求裁去的面积最大的圆形纸板半径.
(2)(1)中的圆形纸板足够做纸杯的底面,但要进行简单的剪裁,至此,纸杯也就制成了,通过以上数据,请你计算一次性纸杯的高,并回答它最接近于哪一个整数值.

答案：
(1)
∵圆形纸板与OC,OD,$\stackrel{\frown}{CD}$相切时面积最大,如图,设纸板的圆心为点M,作MF⊥OC.设MF=x,则OM=6 - x,在Rt△MFO中,∠MOF=30°,则OM=2MF,即6 - x=2x,解得x=2.
∴裁取的面积最大的圆形纸板半径为2cm.
(2)
∵∠AOB=60°,
∴$\stackrel{\frown}{AB}$的长为$\frac{60π×18}{180}$=6π.设杯子顶部圆的半径为r,则2πr=6π,
∴r=3,即杯子顶部圆的半径为3cm.同理可得杯子底面圆的半径为1cm.
∴杯子的高为$\sqrt{(18 - 6)² - (3 - 1)²}$≈11.83(cm).
∴杯子的高最接近整数12.