《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

13. 【铜仁】已知抛物线 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 与 $ x $ 轴有两个交点 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $,抛物线 $ y = a(x - h - m)^{2}+k $ 与 $ x $ 轴的一个交点是 $ (4,0) $,则 $ m $ 的值是(C)。
A.$ 5 $
B.$ - 1 $
C.$ 5 $ 或 $ 1 $
D.$ - 5 $ 或 $ - 1 $

答案： C

14. 【荆门】如图,抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,$ B $,顶点为 $ C $,对称轴为直线 $ x = 1 $,给出下列结论：①$ abc ＜ 0 $；②若点 $ C $ 的坐标为 $ (1,2) $,则 $ \triangle ABC $ 的面积可以等于 $ 2 $；③$ M(x_{1},y_{1}) $,$ N(x_{2},y_{2}) $ 是抛物线上两点 $ (x_{1} ＜ x_{2}) $,若 $ x_{1}+x_{2} ＞ 2 $,则 $ y_{1} ＜ y_{2} $；④若抛物线经过点 $ (3,-1) $,则方程 $ ax^{2}+bx + c + 1 = 0 $ 的两根为 $ - 1 $,$ 3 $。其中正确结论的序号为①④。

答案： ①④

15. 若 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的两个根,则 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 和系数 $ a $,$ b $,$ c $ 有如下关系：$ x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a} $,$ x_{1}x_{2}= \frac{c}{a} $。把它称为一元二次方程根与系数关系定理。若设二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点为 $ A(x_{1},0) $,$ B(x_{2},0) $。利用根与系数关系定理可以得到 $ A $,$ B $ 两个交点间的距离为：$ AB = |x_{1}-x_{2}|= \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}= \sqrt{(-\frac{b}{a})^{2}-\frac{4c}{a}}= \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}}= \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|} $。

参考以上定理和结论,解答下列问题：
设二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点为 $ A(x_{1},0) $,$ B(x_{2},0) $,抛物线的顶点为 $ C $,显然 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形。
(1)当 $ \triangle ABC $ 为直角三角形时,求 $ b^{2}-4ac $ 的值。

(2)当 $ \triangle ABC $ 为等边三角形时,求 $ b^{2}-4ac $ 的值。

答案：
(1)过点C作$CE\perp AB$于点E，当$\triangle ABC$为直角三角形时，$AB=2CE$.
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴$\Delta=b^{2}-4ac ＞ 0$，则$|b^{2}-4ac|=b^{2}-4ac$.
∵$a ＞ 0$，
∴$AB=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$.又
∵$CE=\left| \frac{4ac-b^{2}}{4a} \right|=\frac{b^{2}-4ac}{4a}$，
∴$\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}=2×\frac{b^{2}-4ac}{4a}$.
∴$\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}=\frac{(b^{2}-4ac)^{2}}{4a^{2}}$.
∵$b^{2}-4ac ＞ 0$，
∴$b^{2}-4ac=4$.
(2)当$\triangle ABC$为等边三角形时，由
(1)可知$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
∴$\frac{b^{2}-4ac}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$.
∴$\frac{(b^{2}-4ac)^{2}}{16a^{2}}=\frac{3(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}$.
∵$b^{2}-4ac ＞ 0$，
∴$b^{2}-4ac=12$.