《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

9. 若 $\alpha$,$\beta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 的两个实数根,且 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2}{3}$,则 $m$ 等于(B).
A.-2
B.-3
C.2
D.3

答案： B

10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2mx + 2n = 0$ 有两个整数根且乘积为正,关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 + 2ny + 2m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 \geq 2$；③$-1 \leq 2m - 2n \leq 1$.其中正确的结论有(D).
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

答案： D

11. 已知 $a$,$b$ 是方程 $x^2 + x - 3 = 0$ 的两个实数根,则 $a^2 - b + 2019$ 的值是(A).
A.2023
B.2021
C.2020
D.2019

答案： A

12. 对于任意实数 $a$,$b$,定义：$a◆b = a^2 + ab + b^2$.若方程 $(x◆2) - 5 = 0$ 的两根记为 $m$,$n$,则 $m^2 + n^2 = $ 6.

答案： 6

13. 已知 $m$,$n$ 是方程 $x^2 + 2020x + 7 = 0$ 的两个根,则 $(m^2 + 2019m + 6)(n^2 + 2021n + 8)= $ 2012.

答案： 2012

14. 阅读材料：若一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$.例：已知实数 $m$,$n$ 满足 $m^2 - m - 1 = 0$,$n^2 - n - 1 = 0$,且 $m \neq n$,求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.
解：由题知 $m$,$n$ 是方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系得 $m + n = 1$,$mn = -1$.
$\therefore \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{1 + 2}{-1} = -3$.
根据上述材料解决下列问题.
(1)一元二次方程 $2x^2 + 3x - 1 = 0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1 + x_2 = $ $-\frac{3}{2}$,$x_1x_2 = $ $-\frac{1}{2}$.
(2)已知实数 $m$,$n$ 满足 $2m^2 - 2m - 1 = 0$,$2n^2 - 2n - 1 = 0$,且 $m \neq n$,求 $m^2n + mn^2$ 的值.
∵m,n满足$2m^{2}-2m-1=0$，$2n^{2}-2n-1=0$，
∴m,n可看作方程$2x^{2}-2x-1=0$的两实数根。
∴$m+n=1$，$mn=-\frac{1}{2}$。
∴$m^{2}n+mn^{2}=mn(m+n)=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$。
(3)已知实数 $p$,$q$ 满足 $p^2 = 3p + 2$,$2q^2 = 3q + 1$,且 $p \neq 2q$,求 $p^2 + 4q^2$ 的值.
设$t=2q$，则$q=\frac{t}{2}$，代入$2q^{2}=3q+1$得$t^{2}=3t+2$，
∴p与t(即2q)为方程$x^{2}-3x-2=0$的两实数根。
∴$p+2q=3$，$p×2q=-2$。
∴$p^{2}+4q^{2}=(p+2q)^{2}-2p×2q=3^{2}-2×(-2)=13$。

答案：
(1)$-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)
∵m,n满足$2m^{2}-2m-1=0$，$2n^{2}-2n-1=0$，
∴m,n可看作方程$2x^{2}-2x-1=0$的两实数根。
∴$m+n=1$，$mn=-\frac{1}{2}$。
∴$m^{2}n+mn^{2}=mn(m+n)=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$。
(3)设$t=2q$，则$q=\frac{t}{2}$，代入$2q^{2}=3q+1$得$t^{2}=3t+2$，
∴p与t(即2q)为方程$x^{2}-3x-2=0$的两实数根。
∴$p+2q=3$，$p×2q=-2$。
∴$p^{2}+4q^{2}=(p+2q)^{2}-2p×2q=3^{2}-2×(-2)=13$。