《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

8. 根据下列条件,求 $ a $ 的值或取值范围：
(1) 函数 $ y = (a - 2)x^2 $,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而减小；当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大。
(2) 函数 $ y = (3a - 2)x^2 $ 有最大值。
(3) 抛物线 $ y = (a + 2)x^2 $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的形状相同。
(4) 函数 $ y = (a - 1)x^{a^2 - a} $ 的图象是开口向上的抛物线。

答案：
(1)$ a＜2 $。
(2)$ a＜\frac{2}{3} $。
(3)$ a=-2.5 $。
(4)$ a=2 $。

9. 已知四个二次函数的图象如图,则 $ a_1 $,$ a_2 $,$ a_3 $,$ a_4 $ 的大小关系是(A)。

A.$ a_1 ＞ a_2 ＞ a_3 ＞ a_4 $
B.$ a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ a_4 $
C.$ a_2 ＞ a_1 ＞ a_4 ＞ a_3 $
D.$ a_2 ＞ a_3 ＞ a_1 ＞ a_4 $

答案： A

10. 株洲湘江五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系,小明在五桥观光,发现拱梁的路面部分均匀排列着 9 根支柱,他回家上网查到了拱梁是抛物线,其跨度为 20m,拱高(中柱)10m,于是他建立如图所示的平面直角坐标系,将余下的 8 根支柱的高度都算出来了。那么,中柱右边第二根支柱的高度是(D)。

A.7m
B.7.6m
C.8m
D.8.4m

答案： D

11. 如图,$ Rt\triangle OAB $ 的顶点 $ A(-2, 4) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,将 $ Rt\triangle OAB $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle OCD $,边 $ CD $ 与该抛物线相交于点 $ P $,则点 $ P $ 的坐标为___$ (\sqrt{2},2) $。

答案： $ (\sqrt{2},2) $

12. 已知函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 的图象与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点 $ A(1, b) $。
(1) 求 $ a $ 和 $ b $ 的值。
(2) 当 $ x $ 取何值时,二次函数 $ y = ax^2 $ 中的 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 求抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 的另一个交点 $ B $ 的坐标。

答案：
(1)把 A(1,b)代入 $ y=2x-3 $，得 $ b=2×1-3=-1 $。把 A(1,-1)代入 $ y=ax^{2} $，得 $ -1=a×1^{2} $，解得 $ a=-1 $。
(2)
∵$ a=-1 $，
∴二次函数 $ y=ax^{2} $ 为 $ y=-x^{2} $，它的图象开口向下，对称轴为 y 轴。
∴当 $ x＜0 $ 时，y 随 x 的增大而增大。
(3)解方程组$ \begin{cases} y=2x-3 \\ y=-x^{2} \end{cases} $，得$ \begin{cases} x_{1}=1 \\ y_{1}=-1 \end{cases} $，$ \begin{cases} x_{2}=-3 \\ y_{2}=-9 \end{cases} $。
∴抛物线 $ y=ax^{2} $ 与直线 $ y=2x-3 $ 的另一个交点 B 的坐标是(-3,-9)。