《2025年全优方案夯实与提高九年级数学全一册人教版》

13. 如图,已知边长为 $ a $ 的正方形 $ ABCD $。求作该正方形绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 后的正方形 $ AB_1C_1D_1 $。(说明：请用无刻度的直尺和圆规作图,并保留作图痕迹)

答案：
如图.
　　　　　

14. 如图,将方格纸中的图形绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后得到的图形是(C)。

答案： C

15. 【抚顺】如图,将矩形 $ ABCD $ 绕点 $ A $ 旋转至矩形 $ AB'C'D' $ 位置,此时 $ AC $ 的中点恰好与点 $ D $ 重合,$ AB' $ 交 $ CD $ 于点 $ E $。若 $ AB = 3 $,则 $ \triangle AEC $ 的面积为(D)。

A.3
B.1.5
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ \sqrt{3} $

答案： D

16. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 1 $,$ BC = \sqrt{3} $,点 $ O $ 为 $ Rt \triangle ABC $ 内一点,连接 $ AO $,$ BO $,$ CO $,且 $ \angle AOC = \angle COB = \angle BOA = 120^{\circ} $,按下列要求画图(保留画图痕迹)：
以点 $ B $ 为旋转中心,将 $ \triangle AOB $ 绕点 $ B $ 顺时针方向旋转 $ 60^{\circ} $,得到 $ \triangle A'O'B $($ A $,$ O $ 的对应点分别为点 $ A' $,$ O' $),并回答下列问题：
(1)$ \angle ABC = $30°,$ \angle A'BC = $90°。
(2)求 $ OA + OB + OC $。
∵∠C = 90°，AC = 1，BC = $\sqrt{3}$，
∴AB = 2.
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B = AB = 2，BO = BO'，A'O' = AO.
∴△BOO'是等边三角形.
∴BO = OO'，∠BOO' = ∠BO'O = 60°.
∵∠AOC = ∠COB = ∠BOA = 120°，
∴∠COB + ∠BOO' = ∠BO'A' + ∠BO'O = 120° + 60° = 180°.
∴C，O，O'，A'四点共线.
在Rt△A'BC中，A'C = $\sqrt{BC^{2}+A'B^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{7}$，
∴OA + OB + OC = A'O' + OO' + OC = A'C = $\sqrt{7}$.

答案： 图略.
(1)30°　90°
(2)
∵∠C = 90°，AC = 1，BC = $\sqrt{3}$，
∴AB = 2.
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B = AB = 2，BO = BO'，A'O' = AO.
∴△BOO'是等边三角形.
∴BO = OO'，∠BOO' = ∠BO'O = 60°.
∵∠AOC = ∠COB = ∠BOA = 120°，
∴∠COB + ∠BOO' = ∠BO'A' + ∠BO'O = 120° + 60° = 180°.
∴C，O，O'，A'四点共线.
在Rt△A'BC中，A'C = $\sqrt{BC^{2}+A'B^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{7}$，
∴OA + OB + OC = A'O' + OO' + OC = A'C = $\sqrt{7}$.