《2025年作业本江西教育出版社七年级数学上册北师大版》

5. 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案。
(1) 第 $4$ 个图案中，三角形有10个，六边形有4个。
(2) 第 $n$($n$ 为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3) 第 $2024$ 个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(4) 是否存在某个符合上述规律的图案，其中有 $100$ 个三角形与 $30$ 个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。

答案： 10
4
解：
(2)由图可知，
第1个图案中三角形的个数为$2\times1 + 2=4；$
第2个图案中三角形的个数为$2\times2 + 2=6；$
第3个图案中三角形的个数为$2\times3 + 2=8；$
则第n个图案中三角形有(2n + 2)个，六边形有n个。
(3)第2024个图案中，三角形有$2\times2024 + 2=4050$个，六边形有2024个。
(4)不存在。
理由如下：因为若六边形有30个，则第30个图案中三角形有$2\times30 + 2=62$个，$62\neq100，$所以这样的图案不存在。