《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

一、观察与思考
请完成下列填空：
$ \sqrt{4 × 9} = $6, $\sqrt{4} × \sqrt{9} = $6.即$ \sqrt{4 × 9} $=$\sqrt{4} × \sqrt{9} $.$\sqrt{25 × 0.09} = $1.5, $\sqrt{25} × \sqrt{0.09} = $1.5.
即$ \sqrt{25 × 0.09} $=$\sqrt{25} × \sqrt{0.09} $.
请用含有字母 a,b 的式子表示上述规律：
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$($a\geq0$,$b\geq0$).
即积的算术平方根,等于各因式算术平方根的积.

答案： 6；6；=；1.5；1.5；=；$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$；$a\geq0$；$b\geq0$；积

二、二次根式的化简
将被开方数中含有完全平方的因式(或因数)利用$\sqrt{a^{2}}=a$($a \geq 0$),将这个因式(或因数)“开方”出来.

答案： $\sqrt{a^{2}}=a$

小题快练
(打“√”或“×”)
1. $\sqrt{9 × 16} = \sqrt{9} × \sqrt{16}$ . (√)
2. $\sqrt{(-9) × (-16)} = \sqrt{-9} × \sqrt{-16}$ . (×)
3. $\sqrt{3a^{2}b^{3}} = ab \sqrt{3b}$ . (×)
4. $\sqrt{4 \frac{9}{16}} × \sqrt{16} = 4 × \sqrt{\frac{9}{16}} × \sqrt{16}$ . (×)

答案： 1.√ 2.× 3.× 4.×

【示范题 1】化简：(1) $\sqrt{360} $.
(2) $\sqrt{25x^{2}y^{2}z^{3}} ( x \geq 0,y \geq 0,z \geq 0 )$.
【思路点拨】将被开方数写成乘积形式→利用 $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} ( a \geq 0 , b \geq 0 $)→利用 $\sqrt{a^{2}} $= |a| →化简得结果.

答案：
(1)
$\sqrt{360} = \sqrt{36 × 10} = \sqrt{36} × \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$。
(2)
$\sqrt{25x^{2}y^{2}z^{3}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}} \cdot \sqrt{z^{2}} \cdot \sqrt{z} = 5xyz\sqrt{z}$（其中 $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$）。

【示范题 2】某小区有一块长方形绿地,绿地长为 40m ,宽为 20m ,现准备沿对角线挖一条通道,求通道的长.

答案： 解：通道的长为长方形绿地的对角线长，根据勾股定理可得：
$\sqrt{40^{2} + 20^{2}} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = \sqrt{400 × 5} = 20\sqrt{5}$
答：通道的长为$20\sqrt{5}\ m$。

1. 化简 $\sqrt{80}$ 的结果是 ( B)

A. 20
$B. 4 \sqrt{5} $
$C. 2 \sqrt{20} $
$D. 8 \sqrt{2} $

答案： B