《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 相似三角形的高或中线或角平分线的比等于相似比。(×)
2. 两相似三角形面积的比等于周长的比的平方。(√)
3. △ABC∽△A'B'C',它们的相似比是2:1,则△A'B'C'与△ABC的面积比是4:1。(×)

答案： 1.× 2.√ 3.×

【示范题1】如图,在▱ABCD中,AB= 6,AD= 9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,若BG= 4√{2},求△CEF的面积。

【思路点拨】根据角平分线、平行线证明AB= BE,用勾股定理求AG的长,从而求$S_{△ABE},用相似三角形的面积比等于相似比的平方求S_{△CEF}。$

答案： $\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD = BC = 9$，
$\therefore\angle DAE = \angle AEB$，
$\because AE$平分$\angle BAD$，
$\therefore\angle DAE = \angle BAE$，
$\therefore\angle AEB = \angle BAE$，
$\therefore AB = BE = 6$，
$\therefore EC = BC - BE = 3$，
$\because BG \perp AE$，
$\therefore$在$Rt\triangle ABG$中，
$AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \sqrt{6^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = 2$，
$\therefore AE = 2AG = 4$，
$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}AE \cdot BG = \frac{1}{2} × 4 × 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$，
$\because AB// DC$，
$\therefore\angle BAE = \angle F$，
$\because\angle AEB = \angle FEC$，
$\therefore \triangle BEA \backsim \triangle CEF$，
$\therefore\frac{S_{\triangle BEA}}{S_{\triangle CEF}} = (\frac{BE}{EC})^{2} = (\frac{6}{3})^{2} = 4$，
$\therefore S_{\triangle CEF} = \frac{1}{4}S_{\triangle BEA} = \frac{1}{4} × 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
综上，$\triangle CEF$的面积为$2\sqrt{2}$。

【示范题2】如图,点A,F,C,D在同一条直线上,点B和点E分别在AD的两侧,且AB= DE,∠A= ∠D,AF= DC。

(1)求证：四边形BCEF是平行四边形。
(2)若∠ABC= 90°,AB= 4,BC= 3,当AF为何值,四边形BCEF是菱形？
【思路点拨】(1)由AB= DE,∠A= ∠D,AF= DC,易证△ABC≌△DEF,可得BC= EF,且BC//EF,即可判定四边形BCEF是平行四边形。
(2)由四边形BCEF是平行四边形,可得当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,所以连结BE,交CF于点G,证得△ABC∽△BGC,由相似三角形的对应边成比例,即可求得AF的值。

答案：
【解答】
(1)
∵AF= DC,
∴AF+FC= DC+FC,即AC= DF。
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.),
∴BC= EF,∠ACB= ∠DFE,
∴BC//EF,
∴四边形BCEF是平行四边形。
(2)连结BE,交CF与点G,

∵四边形BCEF是平行四边形,
∴当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,
∵∠ABC= 90°,AB= 4,BC= 3,
∴$AC= √{AB^{2}+BC^{2}}= 5,$
∵∠BGC= ∠ABC= 90°,∠ACB= ∠BCG,
∴△ABC∽△BGC,
∴$\frac{BC}{AC}= \frac{CG}{BC},即\frac{3}{5}= \frac{CG}{3},$
∴$CG= \frac{9}{5}。$
∵FG= CG,
∴$FC= 2CG= \frac{18}{5},$
∴$AF= AC-FC= 5- \frac{18}{5}= \frac{7}{5},$
∴当$AF= \frac{7}{5}$时,四边形BCEF是菱形。