《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

【示范题 2】如图,在□ABCD 中,BE ⊥ AD 于点 E,BF ⊥ CD 于点 F,AC 与 BE,BF 分别交于点 G,H.
(1)求证：△BAE ∽ △BCF.
(2)若 BG = BH,求证：□ABCD 是菱形.

【思路点拨】(1)先利用已知条件里的两个垂直条件,可证一对角相等,都等于 90°,再利用平行四边形的性质,对角相等,进而可证△BAE ∽ △BCF.
(2)由 BG = BH,可得∠3 = ∠4,利用等量减等量差相等,可证∠BGA = ∠BHC,进而可证出两个三角形全等,由此推出□ABCD 的邻边相等.

答案：
(1)
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠BCF。
∴△BAE∽△BCF。
(2)
∵△BAE∽△BCF，
∴∠1=∠2。
∵BG=BH，
∴∠3=∠4。
∵∠BGA=180°-∠1-∠3，∠BHC=180°-∠2-∠4，
∴∠BGA=∠BHC。
在△BGA和△BHC中，
∠1=∠2，BG=BH，∠BGA=∠BHC，
∴△BGA≌△BHC(ASA)。
∴AB=BC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是菱形。

1. 已知△ABC 的三条边长分别为 6cm,7.5cm,9cm,△DEF 的最小边长为 4cm,当△DEF 的另两条边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 (C)
A.2cm,3cm
B.4cm,5cm
C.5cm,6cm
D.6cm,7cm

答案： C

2. 如图,每个小方格边长均为 1,在正方形网格上的三角形①,②,③中,与△ABC 相似的三角形有2个.

答案： 2