《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

【示范题 2】如图,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的中线,$ E $ 为 $ AD $ 的中点,连结 $ BE $ 并延长交 $ AC $ 于点 $ F $,求证：$ CF = 2AF $.

【思路点拨】作 $ DH // BF $,在 $ \triangle BCF $ 和 $ \triangle ADH $ 中用平行线分线段成比例,分别求 $ \frac{CH}{FH} $ 与 $ \frac{AF}{FH} $ 的值.

答案： 证明：过点 $ D $ 作 $ DH // BF $，交 $ AC $ 于点 $ H $。
在 $ \triangle BCF $ 中，$ DH // BF $，
$\therefore \frac{CH}{FH} = \frac{CD}{BD}$。
$\because AD$ 为 $ \triangle ABC $ 的中线，
$\therefore BD = CD$，
$\therefore \frac{CH}{FH} = 1$，即 $ CH = FH $。
在 $ \triangle ADH $ 中，$ E $ 为 $ AD $ 的中点，$ DH // BF $，
$\therefore \frac{AF}{FH} = \frac{AE}{DE} = 1$，即 $ AF = FH $。
$\because CH = FH$，$ AF = FH $，
$\therefore AF = FH = CH$，
$\therefore CF = FH + CH = AF + AF = 2AF$。
综上，$ CF = 2AF $。

1. 如图,$ l_3 // l_4 // l_5 $,则下列结论不成立的是 (D)

A.$ \frac{BC}{AB} = \frac{EF}{DE} $
B.$ \frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE} $
C.$ \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} $
D.$ \frac{AB}{EF} = \frac{DE}{BC} $

答案： D

2. 如图,$ a // b // c $,$ AM = 3 $,$ BM = 5 $,$ CM = 4.5 $,$ EF = 16 $,求 $ DM $,$ EK $,$ FK $ 的长.

答案： 解析
∵a//b//c，
∴$\frac{DM}{CM}=\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{DM}{4.5}=\frac{5}{3}$，
∴DM=7.5. 又$\frac{FK}{EK}=\frac{BM}{AM}=\frac{5}{3}$，
设FK=5x,EK=3x，
则5x+3x=16，
∴x=2，
∴FK=10,EK=6.

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,$ DE // BC $,已知 $ AE = 6 $,$ \frac{AD}{DB} = \frac{3}{4} $,则 $ EC $ 的长是 (B)

A.$ 4.5 $
B.$ 8 $
C.$ 10.5 $
D.$ 14 $

答案： B

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // AB $,若 $ \frac{CE}{CB} = \frac{3}{5} $,$ CD = 6 $,则 $ AC $ 的长为 (10)

A.$ 4 $
B.$ 6 $
C.$ 8 $
D.$ 10 $

答案： D 解析
∵DE//AB，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{AC}$，
∵$\frac{CE}{CB}=\frac{3}{5}$，CD=6，
∴$\frac{3}{5}=\frac{6}{AC}$，
∴AC=10

3. 如图,已知 $ AB // DE $,$ AE $ 与 $ BD $ 交于 $ C $,$ AC = 3 $,$ BD = 4.5 $,$ CD = 2.5 $,则 $ CE = $3.75.

答案： 3.75

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ EF // AB $,$ AD:AB = 3:5 $,$ BC = 25 $,则 $ FC = $10.

答案： 10