《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

7. 已知$x$,$y$为实数,且满足$y = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - x} + \frac{1}{2}$,求$5x + |2y - 1| - \sqrt{y^2 - 2y + 1}$的值.

答案： 解析 由$\left\{\begin{array}{l} x-\frac {1}{2}\geqslant 0,\\ \frac {1}{2}-x\geqslant 0,\end{array}\right. $得$x=\frac {1}{2}$,则$y=\frac {1}{2}.$所以$5x+|2y-1|-\sqrt {y^{2}-2y+1}=$$\frac {5}{2}-\sqrt {\frac {1}{4}}=2.$

化简求值：$\frac{1}{a} + \sqrt{\frac{1}{a^2} + a^2 - 2}$,其中$a = \frac{1}{5}$.
解：原式 = $\frac{1}{a} + \sqrt{(a - \frac{1}{a})^2}$ …………①
= $\frac{1}{a} + a - \frac{1}{a}$ …………②
= $a$ …………③
当$a = \frac{1}{5}$时,原式 = $a = \frac{1}{5}$ ……④
(1)找错：从第②步开始出现错误.
(2)纠错：______.

答案：
(1)②
(2)原式$=\frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}},$
∵$a=\frac {1}{5},\therefore a-\frac {1}{a}=\frac {1}{5}-5＜0,$
∴原式$=\frac {1}{a}+|a-\frac {1}{a}|=\frac {1}{a}+\frac {1}{a}-a=$$\frac {2}{a}-a$当$a=\frac {1}{5}$时，原式$=\frac {2}{\frac {1}{5}}-\frac {1}{5}$$=10-\frac {1}{5}=\frac {49}{5}$

一、计算下列各式,观察计算结果
$ \sqrt{4} × \sqrt{9} = $6$ , \sqrt{4 × 9} = $_________6$ . $

答案： 6 6

二、用“＞”“＜”或“=”填空
$ \sqrt{4} × \sqrt{9} $_________$ \sqrt{4 × 9} . $

答案： =

三、根据上述例子,总结二次根式的乘法法则
1. 式子表示：$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = $_________$\sqrt{ab}$ ( _________ $a\geqslant 0$, _________$b\geqslant 0$ )
2. 语言叙述：两个算术平方根的积,等于它们被开方数的 积 的算术平方根.

答案： 1.$\sqrt{ab}$ $a\geqslant 0$ $b\geqslant 0$ 2.积

小题快练
(打“√”或“ × ”)
1. $\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$ . (√)
2. $\sqrt{-2} × \sqrt{-5} = \sqrt{10}$ . (×)
3. $\sqrt{x} × \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ . (×)
4. $3 \sqrt{5} = \sqrt{9} × \sqrt{5} = \sqrt{45}$ . (√)

答案： 1.√ 2.× 3.× 4.√

【示范题】计算：(1) $\sqrt{5} × \sqrt{6}$ . $(2) $$ \sqrt{3} × \sqrt{8} . $
(3) $4 \sqrt{xy} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}$ ( $x \geq 0$ , y ＞ 0 ) . $(4) $$ 6 \sqrt{27} × ( - 2 \sqrt{3} ) . $
【思路点拨】直接利用公式$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} ( a \geq 0 , b \geq 0 ) $进行计算. 若根号外面有系数,则把系数也相乘.

答案：
(1) $ \sqrt{5} × \sqrt{6} = \sqrt{5 × 6} = \sqrt{30} $；
(2)$ \sqrt{3} × \sqrt{8} = \sqrt{3 × 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $；
(3)因为$x \geq 0 , y ＞ 0 $，
则 $4\sqrt{xy} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} = 4\sqrt{xy \cdot \frac{1}{y}} = 4\sqrt{x} $；
(4) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3}) = 6 × (-2) × \sqrt{27 × 3} = -12 × \sqrt{81} = -12 × 9 = -108 $。