《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

用公式法解方程 $3x^{2}= 5x + 1$.
解：$\because a = 3$,$b = 5$,$c = 1$ ①
$\therefore b^{2}-4ac = 5^{2}-4×3×1 = 13＞0$ ②
$\therefore x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{2×3}= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
$\therefore x_{1}= \frac{-5+\sqrt{13}}{6}$,$x_{2}= \frac{-5-\sqrt{13}}{6}$ ③
(1)找错：从第 ① 步开始出现错误.
(2)纠错： 没有将方程化为一般形式，从而把a,b,c的值弄错，$a=3,b=-5,c=-1,b^{2}-4ac=37$,$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{6}$,$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{37}}{6},x_{2}=\frac{5-\sqrt{37}}{6}$.

答案：
(1)①
(2)没有将方程化为一般形式，从而把a,b,c的值弄错，$a=3,b=-5,c=-1,b^{2}-4ac=37$,
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{6}$,
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{37}}{6},x_{2}=\frac{5-\sqrt{37}}{6}$.

一、根的判别式
式子$b^{2}-4ac$叫做方程$ax^{2}+bx+c = 0$
$(a\neq0)$根的判别式,通常用希腊字母$\Delta$表示它,即$\Delta=$$b^{2}-4ac$.

答案： $b^{2}-4ac$ $b^{2}-4ac$

二、根的判别式与方程根的情况
1. 当$\Delta＞0$时,方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$有两个不相等的实数根.
2. 当$\Delta = 0$时,方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$有两个相等的实数根.
3. 当$\Delta＜0$时,方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$无实数根.

答案： 1.两个不相等 2.两个相等 3.无

小题快练(打“√”或“×”)
1. 方程$x^{2}-2x + 2 = 0$有两个不相等的实数根. (×)
2. 方程$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$有两个相等实数根. (√)
3. 若$x^{2}-2x + k = 0$无实数根,则$k＞1$. (√)
4. 不论$k$取何值,方程$x^{2}+kx - 1 = 0$总有两个不等实数根. (√)

答案： 1.× 2.√ 3.√ 4.√

【示范题 1】已知一元二次方程：①$x^{2}+2x + 3 = 0$,②$x^{2}-2x - 3 = 0$,下列说法正确的是 ( )

A.①②都有实数根
B.①无实数根,②有实数根
C.①有实数根,②无实数根
D.①②都无实数根

答案：
B