《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根与系数的关系使用的条件是 $b^{2}-4ac\geq0$。 (√)
2. 一元二次方程 $x^{2}-2x-3 = 0$ 的两根的和为$-2$,两根的积为$-3$。 (×)
3. 一元二次方程 $2x^{2}-5x+3 = 0$ 的两根之和为$\frac{5}{2}$,两根之积为$\frac{3}{2}$。 (√)
4. 若 $x^{2}-px+6 = 0$ 的一个根为 $2$,则另一个根为 $3$。 (√)

答案： 1.√ 2.× 3.√ 4.√

【示范题 1】已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+n = 0$ 有两个实数根$-2,m$。求 $m,n$ 的值。
【思路点拨】通过两根之和确定 $m$,通过两根之积确定 $n$。

答案： 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+n = 0$ 有两个实数根$-2,m$。
$\because$ 方程 $x^{2}+x+n = 0$ 的两根为$-2$和$m$
$\therefore$ 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$\begin{cases}-2 + m = -1\\-2 × m = n\end{cases}$
由$-2 + m = -1$，解得$m = 1$
将$m = 1$代入$-2 × m = n$，得$n = -2×1 = -2$
即 $m$ 的值为$1$，$n$ 的值为$-2$。

【示范题 2】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-x-3 = 0$ 的两个实数根分别为 $\alpha,\beta$,则 $(\alpha+3)(\beta+3)= $____。

答案：
9

1. 一元二次方程 $x^{2}+x-2 = 0$ 的解为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}\cdot x_{2}=$(D)
A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$

答案： D

2. 已知 $2-\sqrt{5}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x+c = 0$ 的一个根,则方程的另一个根为$2+\sqrt{5}$。

答案： $2+\sqrt{5}$

3. 方程 $3x^{2}+x+k = 0$ 的两根之积为$-3$,则 $k$ 的值为-9。

答案： -9

4. 若方程 $x^{2}+(m^{2}-1)x+m = 0$ 的两根互为相反数,则 $m=$-1。

答案： -1

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x+k-3 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,且满足 $x_{1}= 3x_{2}$,试求出方程的两个实数根及 $k$ 的值。

答案： 解析
∵关于x的一元二次方程$x^2-4x+k-3=0$有两个实数根，
∴$\Delta=16-4×1×(k-3)\geq0$,解得$k\leq7$；由根与系数的关系，得$x_1+x_2=4$,$x_1\cdot x_2=k-3$,把$x_1=3x_2$代入$x_1+x_2=4$,得$x_1=3$,$x_2=1$,
∴$k=x_1x_2+3=3×1+3=6$.故方程两根为$x_1=3$,$x_2=1$,且$k=6$.