《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

一、成比例线段
对于四条线段 $a,b,c,d$,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比,如$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$(或$a:b=c:d$),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,也称这四条线段成比例。

答案： 长度之比 长度之比 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $a:b=c:d$

二、比例的基本性质
1. 如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么$ad=bc$。
2. 如果 $ad = bc$($a,b,c,d$ 都不等于 $0$),那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

答案： 1.$ad=bc$ 2.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

三、其他结论
1. 如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么 $\frac{a\pm b}{b}=$$\frac{c\pm d}{d}$。
2. 如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么 $\frac{a}{a\pm b}=$$\frac{c}{c\pm d}$。

答案： 1.$\frac{c\pm d}{d}$ 2.$\frac{c}{c\pm d}$

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 四条线段的长分别为 $1,2,3,4$,则这四条线段是成比例线段。(×)
2. 若 $ab = cd$,则 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$。(×)
3. $a:3 = 4:7$,则 $a= \frac{28}{3}$。(×)
4. 若 $\frac{x}{5}= \frac{y}{3}$,则 $3x = 5y$。(√)
5. 已知 $\frac{a}{b}= \frac{5}{3}$,则 $\frac{a - b}{b}= \frac{2}{3}$。(√)

答案： 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√

【示范题 1】已知四条线段 $a = 0.5m$,$b = 25cm$,$c = 0.2m$,$d = 10cm$,试判断这四条线段是否是成比例线段。

答案： 解：
统一单位：
$a = 0.5 m = 50 cm$,
$b = 25 cm$,
$c = 0.2 m = 20 cm$,
$d = 10 cm$。
计算比值：
$\frac{a}{b} = \frac{50}{25} = 2$,
$\frac{c}{d} = \frac{20}{10} = 2$。
观察比较：
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$。
得出结论：
线段 $a, b, c, d$ 是成比例线段。

【示范题 2】(1)已知 $3x = 4y$,求 $\frac{x}{y}$,$\frac{x}{x - y}$,$\frac{x + y}{y}$ 的值。
(2)若 $\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{5}$,且 $3x + 2y - z = 14$,求 $x,y,z$ 的值。
【思路点拨】(1)利用比例的基本性质及其他变形求值。
(2)首先设各比值等于一个常数,然后得到 $x,y,z$ 与这个常数的关系式,再代入 $3x + 2y - z = 14$ 中进行求解。

答案：
(1)$\because 3x = 4y$,
$\therefore \frac{x}{y}= \frac{4}{3}$,
设$x=4k$,$y=3k(k\neq0)$,
$\frac{x}{x - y}=\frac{4k}{4k - 3k}=\frac{4k}{k}=4$,
$\frac{x + y}{y}=\frac{4k + 3k}{3k}=\frac{7k}{3k}=\frac{7}{3}$。
(2)设$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{5}= k$,
则$x = 2k$,$y = 3k$,$z = 5k$,
$\because 3x + 2y - z = 14$,
$\therefore 3×2k + 2×3k - 5k = 14$,
$6k + 6k - 5k = 14$,
$7k = 14$,
$k = 2$,
$\therefore x = 2×2 = 4$,$y = 3×2 = 6$,$z = 5×2 = 10$。