《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

一、直接开平方法
1. 一元二次方程 $x^{2}= p(p \geq 0)$ 的解为 $x_{1}=$$\sqrt{p}$,$x_{2}=$$-\sqrt{p}$.
2. 一元二次方程 $(mx + n)^{2}= p(p \geq 0)$ 的解为 $x_{1}=$$\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$,$x_{2}=$$\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$.

答案： 1.$\sqrt{p}$ $-\sqrt{p}$ 2.$\frac{-n+\sqrt{p}}{m}$ $\frac{-n-\sqrt{p}}{m}$

二、解方程时不能(填“能”或“不能”)在方程两边同时除以含有未知数的式子,否则方程会失掉一个根.

答案： 不能

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 方程 $3x^{2}-9= 0$ 的根为 $x= \sqrt{3}$.(×)
2. 方程 $(2x + 1)^{2}= 5$ 的根为 $x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. (×)
3. 方程 $(3x + 2)^{2}= -1$ 无解. (√)
4. 解方程 $2x(x - 1)= 5(x - 1)$ 时,方程两边不能同时除以 $(x - 1)$. (√)

答案： 1.× 2.× 3.√ 4.√

【示范题1】解方程：
(1)$x^{2}+2x + 1= 3$.
(2)$4y^{2}-12y + 9= 16$.
【思路点拨】根据方程左边是完全平方式的特点→把方程的左边写成一个完全平方式→两边开平方→解一元一次方程→得出结论.

答案： 答题卡
(1)
解：
$x^{2} + 2x + 1 = 3$
$(x + 1)^{2} = 3$
$x + 1 = \pm \sqrt{3}$
$x = -1 \pm \sqrt{3}$
解得：
$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$
$x_{2} = -1 - \sqrt{3}$
(2)
解：
$4y^{2} - 12y + 9 = 16$
$(2y - 3)^{2} = 16$
$2y - 3 = \pm 4$
$y = \frac{3 \pm 4}{2}$
解得：
$y_{1} = \frac{7}{2}$
$y_{2} = -\frac{1}{2}$

【示范题2】解方程：$2(x - 3)= 3x(x - 3)$.
【思路点拨】方程变形→因式分解→一次式为0→得解.

答案： 答题：
解： $2(x - 3) - 3x(x - 3) = 0$，
$(x - 3)(2 - 3x) = 0$，
$x - 3 = 0$ 或 $2 - 3x = 0$，
解得$x_{1} = 3$，$x_{2} = \frac{2}{3}$。

1. 下列方程能用直接开平方法求解的是 (C)
A.$2x^{2}-x + 1= 5$
B.$x^{2}-x-\frac{1}{4}= 3$
C.$3x^{2}-6x + 3= 5$
D.$x^{2}-3x= 5$

答案： C

2. 一元二次方程 $9x^{2}-6x + 1= 4$ 的解是 (C)
A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -2$
B.$x_{1}= -\frac{1}{3}$,$x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -\frac{1}{3}$
D.$x_{1}= -1$,$x_{2}= \frac{1}{3}$

答案： C