《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

【示范题 2】已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2x + 2k - 4 = 0$有两个不相等的实数根. 求$k$的取值范围.
【思路点拨】由于方程是一元二次方程,有两个不相等的实数根,即$b^{2}-4ac＞0$. 把$a$,$b$,$c$代入,就得到一个关于$k$的不等式,求出不等式的解集,从而确定$k$的取值范围.

答案： 答题卡：
$\Delta =b^{2} -4ac=2^{2}-4 × 1 × (2k - 4)= 20 - 8k$。
$\because$方程有两个不相等实数根，
$\therefore \Delta=20 - 8k ＞ 0$，
即$k ＜ \frac{5}{2}$。
故$k$的取值范围是$k ＜ \frac{5}{2}$。

1. 一元二次方程$x^{2}+x - 2 = 0$的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是 (C)
A.$x^{2}+3 = 0$
B.$x^{2}+2x = 0$
C.$(x + 1)^{2}= 0$
D.$(x + 3)(x - 1) = 0$

答案： C

3. 下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是 (A)
A.$x^{2}-3x + 1 = 0$
B.$x^{2}+1 = 0$
C.$x^{2}-2x + 1 = 0$
D.$x^{2}+2x + 3 = 0$

答案： A

4. 已知函数$y = kx + b$的图象如图所示,则一元二次方程$x^{2}+x + k - 1 = 0$根的存在情况是 (C)


A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

5. 证明：不论$k$取何值,关于$x的一元二次方程x^{2}-(k + 1)x+\frac{1}{2}k^{2}+1 = 0$无实数根.

答案： 证明 $\Delta=(k+1)^{2}-4×1×\left(\frac{1}{2}k^{2}+1\right)$
$=k^{2}+2k+1-2k^{2}-4=-k^{2}+2k-3$
$=-(k^{2}-2k+1)+1-3=-(k-1)^{2}-2$.
$\because(k-1)^{2}\geq0$,$\therefore-(k-1)^{2}\leq0$,
$\therefore-(k-1)^{2}-2\leq-2$,
即$-(k-1)^{2}-2$恒小于0,
$\therefore$不论$k$取何值，原方程总无实数根.

1. 已知关于$x的方程kx^{2}+(1 - k)x - 1 = 0$,下列说法正确的是 (C)
A.当$k = 0$时,方程无实数根
B.当$k = 1$时,方程有一个实数根
C.当$k = - 1$时,方程有两个相等的实数根
D.当$k\neq0$时,方程总有两个不相等的实数根

答案： C