《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

13. (12 分)先化简,再求值：$(\frac{a - 2}{a^2 + 2a} - \frac{a - 1}{a^2 + 4a + 4}) ÷ \frac{a - 4}{a + 2}$,其中 $a = \sqrt{2} - 1$。

答案： 解析 原式=$\left[\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-1}{(a+2)^2}\right]÷\frac{a-4}{a+2}=\frac{a-4}{a(a+2)^2}×\frac{a+2}{a-4}=\frac{1}{a(a+2)}$.代入$a=\sqrt{2}-1$得，$\frac{1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1+2)}=\frac{1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=1$.

14. (12 分)计算：$(2\sqrt{5} + 1)(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + … + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}})$。

答案： 解析 原式=$(2\sqrt{5}+1)\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\cdots+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\right)=(2\sqrt{5}+1)\left[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\right]=(2\sqrt{5}+1)\cdot(\sqrt{100}-1)=9(2\sqrt{5}+1)=18\sqrt{5}+9$.

15. (12 分)阅读材料：
若 $a$,$b$ 都是非负实数,则 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$,当且仅当 $a = b$ 时,“$=$”成立。
证明：$\because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$,
$\therefore a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$。
$\therefore a + b \geq 2\sqrt{ab}$。当且仅当 $a = b$ 时,“$=$”成立。
举例应用：已知 $x ＞ 0$,求函数 $y = 2x + \frac{2}{x}$ 的最小值。
解：$y = 2x + \frac{2}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \frac{2}{x}} = 4$。当且仅当 $2x = \frac{2}{x}$,即 $x = 1$ 时,“$=$”成立。
当 $x = 1$ 时,函数取得最小值,$y_{最小} = 4$。
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度。某种汽车以每小时 $x km(70 \leq x \leq 110)$ 的速度匀速行驶时,每千米耗油 $(\frac{1}{18} + \frac{450}{x^2}) L$。若该汽车按以上速度匀速行驶 $1 h$ 的耗油量为 $y L$。
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式。(写出自变量 $x$ 的取值范围)
(2) 求该汽车的经济时速及经济时速的百千米耗油量。(结果保留小数点后一位)

答案：
(1)$\because$汽车以每小时$x\mathrm{km}(70\leqslant x\leqslant 110)$的速度匀速行驶时,每千米耗油$\left(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2}\right)\mathrm{L}$$\therefore y=x\cdot\left(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2}\right)=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}(70\leqslant x\leqslant 110)$.
(2)根据材料得:当$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$时有最小值,解得:$x=90$.$\therefore$该汽车的经济时速为$90\mathrm{km}/\mathrm{h}$.当$x=90$时，百千米耗油量为$100×\left(\frac{1}{18}+\frac{450}{8100}\right)\approx 11.1(\mathrm{L})$.