《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

公式法
用配方法解系数为字母的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$
(1)移项,得 $ax^{2}+bx= $-c.
(2)二次项系数化为 $1$,得 $x^{2}+$$\frac{b}{a}$$x= $$-\frac{c}{a}$.
(3)配方,得 $x^{2}+\frac{b}{a}x+$$(\frac{b}{2a})^{2}$$=$$-\frac{c}{a}$$+$$(\frac{b}{2a})^{2}$.
即 $(x+$$\frac{b}{2a}$$ )^{2}= \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.当 $b^{2}-4ac＞0$ 时,$x= $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,即 $x_{1}= $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}= $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
当 $b^{2}-4ac = 0$ 时,$x= -\frac{b}{2a}$,即 $x_{1}= x_{2}= -\frac{b}{2a}$.
求根公式：当 $b^{2}-4ac\geq0$ 时,一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的实数根可以写为 $x= $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的求根公式.

答案：
(1)-c
(2)$\frac{b}{a}$ $-\frac{c}{a}$
(3)$(\frac{b}{2a})^{2}$ $-\frac{c}{a}$ $(\frac{b}{2a})^{2}$ $\frac{b}{2a}$
$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 方程 $x^{2}+bx+c = 0$ 的两个实数根是 $\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2}$. (×)

2. 方程 $3x^{2}+2x = 1$ 中 $a$,$b$,$c$ 的值分别是 $a = 3$,$b = 2$,$c = 1$. (×)
3. 方程 $4x^{2}-4x+1 = 0$,由于 $b^{2}-4ac = 0$,所以方程只有一个实数根. (×)
4. 方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$,只有当 $b^{2}-4ac＞0$ 时,才有实数根. (×)

答案： 1.× 2.× 3.× 4.×

【示范题 1】 解方程：$x^{2}-3x-1 = 0$.

答案： 解方程：$x^{2}-3x-1=0$。
确定$a$，$b$，$c$的值：
$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
计算判别式$\Delta$：
$\Delta=b^{2}-4ac$
$=(-3)^{2}-4×1×(-1)$
$=9+4$
$=13$
由于$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
得出方程的解：
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，
$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。

【示范题 2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.请选择你认为适当的方法解下列方程.
(1)$x^{2}+5x-1 = 0$. (2)$(x - 1)^{2}= 3$.
(3)$x^{2}= 3x$. (4)$x^{2}-2x = 4$.
【思路点拨】 根据方程特点,选择适当的方法解方程.

答案：
(1)$\because a = 1$,$b = 5$,$c = -1$,
$\therefore b^{2}-4ac = 5^{2}-4×1×(-1)=25 + 4 = 29＞0$,
$\therefore x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{29}}{2}$,
$\therefore x_{1}= \frac{-5+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}= \frac{-5-\sqrt{29}}{2}$.
(2)开平方,得$x - 1= \pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_{1}= 1+\sqrt{3}$,$x_{2}= 1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$x^{2}-3x = 0$,
因式分解,得$x(x - 3)= 0$,
于是得$x = 0$或$x - 3 = 0$,
$\therefore x_{1}= 0$,$x_{2}= 3$.
(4)配方,得$x^{2}-2x + 1= 4 + 1$,即$(x - 1)^{2}= 5$,
开平方,得$x - 1= \pm\sqrt{5}$,
$\therefore x_{1}= 1+\sqrt{5}$,$x_{2}= 1-\sqrt{5}$.