《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

1. 如图,已知∠1 = ∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∽ △ADE 的是 (B)

A.$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$
B.$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$
C.∠B = ∠D
D.∠C = ∠AED

答案： B

2. 如图∠1 = ∠2 = ∠3,则图中相似三角形共有4对.

答案： 4

3. 学习“图形的相似”后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形,满足‘一边一锐角’对应相等,或两条直角边对应相等,两个直角三角形全等.”类似地,你可以得到：“满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例,两个直角三角形相似.”
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.”类似地,你可以得到：“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.” 请结合所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知：如图在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.
试说明 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'.

说明如下:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则AB=kA'B',AC=kA'C';在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,$\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{\frac{AB^{2}-AC^{２}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\sqrt{\frac{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$,
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

答案：
(1)一个锐角对应相等；两直角边对应成比例；
(2)斜边和一条直角边对应成比例；在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$；说明如下:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则AB=kA'B',AC=kA'C';在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,$\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{\frac{AB^{2}-AC^{２}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\sqrt{\frac{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$,
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

如图,在△ABC 中,AB = 1.5cm,AC = 2cm,BC = 2.5cm；在△DEF 中,DE = 2.8cm,EF = 2.1cm,DF = 3.5cm,试判断这两个三角形是否相似.

解：∵$\frac{AB}{DE} = \frac{1.5}{2.8}$,$\frac{AC}{EF} = \frac{2}{2.1}$
$\frac{BC}{DF} = \frac{2.5}{3.5}$ …………①
∴$\frac{AB}{DE} \neq \frac{AC}{EF} \neq \frac{BC}{DF}$ …………②
∴两个三角形不相似 …………③
(1)找错：从第①步开始出现错误.
(2)纠错：____.

答案：
(1)①；
(2)
∵$\frac{AB}{EF}=\frac{1.5}{2.1}=\frac{5}{7}$,$\frac{AC}{DE}=\frac{2}{2.8}=\frac{5}{7}$,$\frac{BC}{DF}=\frac{2.5}{3.5}=\frac{5}{7}$,
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{DF}$,
∴△ABC∽△EFD

相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边成比例,对应角相等。
2. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比。
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4. 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。
5. 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比。
6. 相似三角形的周长之比等于相似比。

答案： 1.比例 相等 2.相似比 3.相似比的平方 4.相似比 5.相似比 6.相似比