《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

4. 有一个面积为$16cm^2$的梯形,它的一条底边长为$3cm$,另一底边比它的高线长$1cm$.若设这条底边长为$xcm$,依据题意,列出方程整理后得$x^{2}+2x-35=0$.

答案： $x^{2}+2x-35=0$

当$m$为何值时,关于$x的方程(m - \sqrt{2})x^{m^2} - (m + 3)x = 4m$是一元二次方程？
解：$\because (m - \sqrt{2})x^{m^2} - (m + 3)x = 4m是关于x$的一元二次方程 …………①
$\therefore m^2 = 2$ …………②
解得：$m = \pm \sqrt{2}$ …………③
(1)找错：从第②步开始出现错误.
(2)纠错：$\because (m-\sqrt {2})x^{m^{2}}-(m+3)x=4m$是关于 x 的一元二次方程$\therefore m^{2}=2$且$m-\sqrt {2}≠0$解得:$m=-\sqrt {2}$

答案：
(1)②
(2)$\because (m-\sqrt {2})x^{m^{2}}-(m+3)x=4m$是关于 x 的一元二次方程$\therefore m^{2}=2$且$m-\sqrt {2}≠0$解得:$m=-\sqrt {2}$

一、直接开平方法
1. 定义：通过将一元二次方程两边直接开平方求方程的解的方法.
2. 步骤：(1)将方程化为 $x^{2}= p(p \geq 0)$ 的形式.
(2)将方程两边直接开平方,得 $x=$$\pm \sqrt{p}$.
(3)得出方程的解：$x_{1}=$$\sqrt{p}$,$x_{2}=$$-\sqrt{p}$.

答案： 1.直接开平方 2.
(2)$\pm \sqrt{p}$
(3)$\sqrt{p}$ $-\sqrt{p}$

二、因式分解法
将方程化成两个一次因式的积等于0的形式,得到两个一元一次方程,进而求出一元二次方程解的方法.

答案： 一元一次

小题快练
(打“√”或“×”)
1. 方程 $x^{2}= 3^{2}$ 的解为 $x= 3$. (×)
2. 方程 $x^{2}= -3$ 可用直接开平方法求解. (×)
3. 方程 $x^{2}-1= 0$ 可用因式分解法解. (√)
4. 方程 $3x(x - 1)= 6(x - 1)$ 的解为 $x= 2$. (×)

答案： 1.× 2.× 3.√ 4.×

【示范题1】求下列一元二次方程的解：
(1)$x^{2}= 11$.
(2)$64x^{2}= 49$.
【思路点拨】先把方程适当变形,变为 $x^{2}= p(p \geq 0)$ 的形式,利用平方根的意义求出方程的解.

答案： 答题卡
(1)
方程 $x^2 = 11$，
两边开平方，得 $x = \pm \sqrt{11}$，
所以 $x_1 = \sqrt{11}$，$x_2 = -\sqrt{11}$。
(2)
方程 $64x^2 = 49$，
两边同除以 64，得 $x^2 = \frac{49}{64}$，
两边开平方，得 $x = \pm \frac{7}{8}$，
所以 $x_1 = \frac{7}{8}$，$x_2 = -\frac{7}{8}$。