《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

计算：$\frac{1}{3}\sqrt{18}+\frac{1}{2}\sqrt{12}$。
解：$\frac{1}{3}\sqrt{18}+\frac{1}{2}\sqrt{12}$
$=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$……①
$=\sqrt{2}+\sqrt{3}$……②
$=\sqrt{5}$……③
(1)找错：从第③步开始出现错误。
(2)纠错：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式,不能合并。

答案：
(1)③
(2)$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式,不能合并

类比整式的运算法则填空：
(1)$(\sqrt{12}+\sqrt{2})×\sqrt{6}=$$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
(2)$(6\sqrt{2}-2\sqrt{6})÷\sqrt{2}=$$6-2\sqrt{3}$。
(3)$(\sqrt{3}+\sqrt{1})(\sqrt{3}-4)=$$-1-3\sqrt{3}$。
(4)$(\sqrt{2}+5)(\sqrt{2}-5)=$-23。

答案：
(1)$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
(2)$6-2\sqrt{3}$
(3)$-1-3\sqrt{3}$
(4)-23

二次根式的混合运算
1. 顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。同级运算,按从左到右的顺序进行。
2. 运算法则：类比整式相应的运算法则,符合乘法公式形式的用乘法公式计算。

答案： 1.乘方 乘除 加减 左 右 2.整式

小题快练(打“√”或“×”)
1. $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)= 2-\sqrt{2}$。(√)
2. $(\sqrt{8}-\sqrt{6})÷2= 2-\sqrt{3}$。(×)
3. 若$a= \sqrt{x}+\sqrt{y}$,$b= \sqrt{x}-\sqrt{y}$,则求$ab$的值时,应用乘法公式简化运算。(√)
4. $\sqrt{5}+2与\sqrt{5}-2$互为倒数。(√)

答案： 1.√ 2.× 3.√ 4.√

【示范题1】(1)计算$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{6}$的值是2。
(2)$(5\sqrt{48}-6\sqrt{27}+4\sqrt{15})÷\sqrt{3}$。
【思路点拨】(1)按单项式乘多项式的方法计算乘法→合并同类二次根式→结果。
(2)类比多项式除以单项式的方法计算。
$\begin{aligned}&\quad (5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} \\&= 5\sqrt{48 ÷ 3} - 6\sqrt{27 ÷ 3} + 4\sqrt{15 ÷ 3} \\&= 5\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + 4\sqrt{5} \\&= 5 × 4 - 6 × 3 + 4\sqrt{5} \\&= 20 - 18 + 4\sqrt{5} \\&= 2 + 4\sqrt{5}\end{aligned}$

答案：
(1)
$\begin{aligned}&\quad \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{6} \\&= \sqrt{2} × \sqrt{2} - \sqrt{2} × \sqrt{3} + \sqrt{6} \\&= 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} \\&= 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\quad (5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} \\&= 5\sqrt{48 ÷ 3} - 6\sqrt{27 ÷ 3} + 4\sqrt{15 ÷ 3} \\&= 5\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + 4\sqrt{5} \\&= 5 × 4 - 6 × 3 + 4\sqrt{5} \\&= 20 - 18 + 4\sqrt{5} \\&= 2 + 4\sqrt{5}\end{aligned}$

【示范题2】计算：
(1)$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})$。
(2)$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})-(1+\sqrt{2})^{2}$。
【思路点拨】根据题目特点,灵活选用乘法公式求得结果。

答案：
(1)
$\begin{aligned}(&2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) \\=&(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}\\=& 12 - 18 \\=& - 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(&(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})-(1+\sqrt{2})^{2} \\=&2^{2}-(\sqrt{3})^{2}-(1 + 2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}) \\=&4 - 3-(1 + 2\sqrt{2}+2) \\=&4 - 3 - 1 - 2\sqrt{2}-2 \\=& - 2 - 2\sqrt{2}\end{aligned}$