《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册华师大版》

4. 如图,在四边形 ABCD 中,E 为 AB 上一点,△ADE 和△BCE 都是等边三角形,AB,BC,CD,DA 的中点分别为 P,Q,M,N,试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形,并证明你的结论。

答案：
解析 四边形 PQMN 为菱形.
证明:如图,连结 AC,BD.

∵PQ 为△ABC 的中位线,
∴PQ//AC 且 PQ=$\frac{1}{2}$AC.
同理 MN//AC 且 MN=$\frac{1}{2}$AC.
∴MN//PQ 且 MN=PQ,
∴四边形 PQMN 为平行四边形.
在△AEC 和△DEB 中,
AE=DE,EC=EB,
∠AED=60°=∠CEB,
即∠AEC=∠DEB.
∴△AEC≌△DEB,
∴AC=BD.
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=PN,
∴□PQMN 为菱形.

1. 如图,D 是△ABC 的重心,则下列结论不正确的是(B)

A.AD = 2DE
B.AE = 2DE
C.BE = CE

D.AD:DE = 2:1

答案： B

2. 如图,O 是△ABC 的重心,AO,BO 的延长线分别交 BC,AC 于点 E,D,若 AB = 12,则 DE 的长为(C)

A.3
B.4
C.6
D.8

答案： C

3. 如图,已知△ABC 的两条中线 AE,CF 相交于点 G,若 AE = 9,则 GE = 3。

答案： 3

4. 如图,在△ABC 中,点 G 是重心,三条中线 AD = 9,CF = 12,BE = 15,延长 AD 至 H,使 DG = DH,求△ABH 的面积。

答案： 解析 根据三角形重心的性质可知:
GD=$\frac{1}{3}$AD=3,CG=$\frac{2}{3}$CF=8,
BG=$\frac{2}{3}$BE=10,
又 BD=DC,∠BDH=∠CDG,
DG=DH,
∴△BHD≌△CGD,即 BH=CG=8,
在△BHG 中,
∵BH²+HG²=8²+6²=10²,BG²=10²,
∴BH²+HG²=BG²,
∴∠H=90°,
∴S△ABH=$\frac{1}{2}$×BH×AH=$\frac{1}{2}$×8×(9+3)=48.

如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD,点 E,F,G 分别是 BD,AC,DC 的中点。已知两底分别为 8,2,两腰和是 12,则△EFG 的周长是(B)

A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
解：∵点 E,F,G 分别是 BD,AC,DC 的中点
∴EF = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}$×8 = 4 …………①
EG = $\frac{1}{2}$BC,FG = $\frac{1}{2}$AD
∴EF + FG = $\frac{1}{2}$(BC + AD) = $\frac{1}{2}$×12 = 6 ………………②
∴△EFG 的周长为 EF + EG + FG = 10 …………③
故选 C
(1)找错：从第①步开始出现错误。
(2)纠错：______。

答案：
(1)①
(2)B 取 AD 的中点 H,连结 HE,HF.
∵E,F 分别为 BD,AC 的中点,
∴HE//AB,HF//CD,且 HE=$\frac{1}{2}$AB,HF=$\frac{1}{2}$CD.
∵AB//CD,
∴HE//CD,
∴H,E,F 三点在同一条直线上.
∴EF=$\frac{1}{2}$(CD - AB)=$\frac{1}{2}$(8 - 2)=3.又
∵G 为 CD 的中点,
∴EG=$\frac{1}{2}$BC,FG=$\frac{1}{2}$AD,
∴EG+FG=$\frac{1}{2}$(BC + AD)=$\frac{1}{2}$×12=6.
∴△EFG 的周长为 EF+EG+FG=9.