《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 将三角形纸片(△ABC)按如图8所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB= AC= 3,BC= 4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是______2或$\frac{12}{7}$.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的性质列出关于$BF$的方程，进而求解$BF$的长度。
已知$\triangle ABC$按如图方式折叠，使点$B$落在边$AC$上，记为点$B'$，折痕为$EF$，所以$BF = B'F$。
设$BF = x$，则$B'F = x$，$FC = 4 - x$。
因为以点$B'$，$F$，$C$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，所以分两种情况讨论：
当$\triangle B'FC\sim\triangle ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$。
已知$AB = 3$，$BC = 4$，$B'F = x$，$FC = 4 - x$，代入可得$\frac{x}{3}=\frac{4 - x}{4}$。
当$\triangle B'CF\sim\triangle BAC$时，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{B'F}{BA}=\frac{FC}{AC}$。
已知$AB = AC = 3$，$B'F = x$，$FC = 4 - x$，代入可得$\frac{x}{3}=\frac{4 - x}{3}$。
下面分别求解上述两个方程：
对于方程$\frac{x}{3}=\frac{4 - x}{4}$：
交叉相乘可得：$4x = 3×(4 - x)$。
去括号：$4x = 12 - 3x$。
移项：$4x + 3x = 12$。
合并同类项：$7x = 12$。
解得：$x = \frac{12}{7}$。
对于方程$\frac{x}{3}=\frac{4 - x}{3}$：
方程两边同时乘以$3$可得：$x = 4 - x$。
移项：$x + x = 4$。
合并同类项：$2x = 4$。
解得：$x = 2$。
【答案】：$2$或$\frac{12}{7}$

1. 小明用下面的方法来测量楼AB的高度:如图9,在地面上放一面镜子E,他刚好能从镜子中看到楼顶端一点A,他的眼睛C距地面1.50米.如果小明与镜子的距离是0.50米,镜子与楼的距离是6米,那么楼AB高为多少米?

答案： 解：由题意知，∠AEB=∠CED（反射角等于入射角），∠ABE=∠CDE=90°，所以△ABE∽△CDE。
则有$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$。
已知CD=1.50米，DE=0.50米，BE=6米，
代入得$\frac{AB}{1.50}=\frac{6}{0.50}$，
解得AB=18米。
答：楼AB高为18米。

2. 如图10,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,$\angle EAF= \angle GAC$.
(1)求证:$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$;
(2)若AD= 3,AB= 5,求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理和性质来求解。
对于（1），要证明$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，需找出两三角形中两组对应角相等。已知$\angle EAF = \angle GAC$，且$AF\perp DE$，$AG\perp BC$，由此可推出$\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$，进而得到$\angle AED = \angle ACB$，再结合两三角形共有的$\angle EAD = \angle BAC$，根据相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明。
对于（2），由（1）已证$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”，因为$AF$和$AG$分别是$\triangle ADE$和$\triangle ABC$的高，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$，已知$AD = 3$，$AB = 5$，代入即可求出$\frac{AF}{AG}$的值。
【答案】：
(1)证明：
∵$AF\perp DE$，$AG\perp BC$，
∴$\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$。
∵$\angle EAF = \angle GAC$，
∴$\angle EAF + \angle FAD = \angle GAC + \angle FAD$，即$\angle AED = \angle ACB$。
又
∵$\angle EAD = \angle BAC$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
(2)解：
由（1）知$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
∵$AF$是$\triangle ADE$中$DE$边上的高，$AG$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$。
∵$AD = 3$，$AB = 5$，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$。