《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(D)
A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{13}$

答案： 【解析】：
本题考查最简二次根式的定义和识别。最简二次根式需要满足两个条件：
1. 被开方数的因数是整数，并且因式是整式；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
根据这两个条件，我们可以逐一检查选项：
A. $\sqrt{0.2}$，被开方数是小数，不是整数，所以不满足条件1，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数是分数，不是整数，所以不满足条件1，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{8}$，8可以分解为$2^3$，其中$2^2$是能开得尽方的因数，所以不满足条件2，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{13}$，13是质数，没有能开得尽方的因数，且是整数，所以满足两个条件，是最简二次根式。
【答案】：
D

2. 下列各数中,与$\sqrt{3}$的积为有理数的是(D)
A.$\sqrt{15}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{27}$

答案： 解：分别计算各选项与$\sqrt{3}$的乘积：
选项A：$\sqrt{15} × \sqrt{3} = \sqrt{15 × 3} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$，为无理数。
选项B：$\sqrt{18} × \sqrt{3} = \sqrt{18 × 3} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$，为无理数。
选项C：$\sqrt{24} × \sqrt{3} = \sqrt{24 × 3} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$，为无理数。
选项D：$\sqrt{27} × \sqrt{3} = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$，为有理数。
答案：D

3. 下列计算正确的是(A)
A.$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}= \sqrt{6}$
B.$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}= \sqrt{21}$
C.$\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{\sqrt{5}}= \sqrt{5}$

答案： 解：A. $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{12}{2}}=\sqrt{6}$，计算正确；
B. $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\neq\sqrt{21}$，计算错误；
C. $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\neq\frac{1}{3}$，计算错误；
D. $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\neq\sqrt{5}$，计算错误。
故选A。

4. 已知:$a= \frac{1}{2-\sqrt{3}},b= \frac{1}{2+\sqrt{3}}$,则a与b的关系是(C)
A.$a-b= 0$
B.$a+b= 0$
C.$ab= 1$
D.$a^{2}= b^{2}$

答案： 解：
∵ $ a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3} $，
$ b = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3} $，
A. $ a - b = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \neq 0 $，故A错误；
B. $ a + b = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 \neq 0 $，故B错误；
C. $ ab = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 $，故C正确；
D. $ a^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3} $，$ b^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3} $，$ a^2 \neq b^2 $，故D错误。
答案：C

5. 已知一个矩形面积是$\sqrt{24}$,一边长是$\sqrt{2}$,则另一边长是(B)
A.12
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$3\sqrt{2}$

答案： 解：设矩形另一边长为$x$。
因为矩形面积 = 长×宽，已知面积是$\sqrt{24}$，一边长是$\sqrt{2}$，所以$\sqrt{2} × x = \sqrt{24}$。
则$x = \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
答案：B

1. 化简:$\frac{1}{\sqrt{3}}=$$\frac{\sqrt{3}}{3}$;$\sqrt{\frac{5}{2}}=$$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

答案： 解：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{5×2}{2×2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$

2. $\sqrt{7}$的倒数是$\frac{\sqrt{7}}{7}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的乘除以及倒数的概念。
首先，我们需要明确什么是倒数。
一个数（0除外）的倒数就是1除以这个数。
因此，要求$\sqrt{7}$的倒数，我们只需计算$\frac{1}{\sqrt{7}}$。
为了得到一个更简洁的形式，我们可以将分子和分母都乘以$\sqrt{7}$（即分母的共轭式），得到：
$\frac{1}{\sqrt{7}} × \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$。
【答案】：
$\frac{\sqrt{7}}{7}$。

3. 将二次根式$3\sqrt{\frac{2}{3}}$化为最简二次根式是$\sqrt{6}$.

答案： 解：$3\sqrt{\frac{2}{3}}$
$=3×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$=3×\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
$=3×\frac{\sqrt{6}}{3}$
$=\sqrt{6}$
$\sqrt{6}$

4. 计算:$\sqrt{45}÷ 3\sqrt{3}= $$\frac{\sqrt{15}}{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的除法运算。根据二次根式的除法法则，有：
$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
所以，
$\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{45}}{3\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{9 × 5}}{3\sqrt{3}}$
$= \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
$= \sqrt{\frac{5}{3}} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{15}}{3}$
【答案】：
$\frac{\sqrt{15}}{3}$

1. 计算:
(1)$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{45}}$;
(2)$\frac{\sqrt{18}-1}{\sqrt{2}}$;
(3)$\sqrt{75}× \frac{\sqrt{6}}{3}÷ \frac{1}{\sqrt{2}}$;
(4)$\frac{\sqrt{3}× \sqrt{6}}{\sqrt{2}}-1$.

答案：
(1)解：$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{45}}=\sqrt{\frac{40}{45}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
(2)解：$\frac{\sqrt{18}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}-\frac{\sqrt{2}}{2}=3-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3)解：$\sqrt{75}× \frac{\sqrt{6}}{3}÷ \frac{1}{\sqrt{2}}=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{12}}{3}=5\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=5×\frac{2×3}{3}=10$
(4)解：$\frac{\sqrt{3}× \sqrt{6}}{\sqrt{2}}-1=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-1=\sqrt{9}-1=3-1=2$