《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

2. 已知关于$x的一元二次方程(k - 1)x^2 - k^2x - 1 = 0的一个根是-1$,求$k$的值;如果方程还有其他的根,那么请求出来.

答案： 解：因为方程的一个根是-1，将x=-1代入方程得：
$(k-1)(-1)^2 - k^2(-1) - 1 = 0$
$(k-1) + k^2 - 1 = 0$
$k^2 + k - 2 = 0$
(k+2)(k-1)=0
解得k=-2或k=1
又因为方程是一元二次方程，所以k-1≠0，即k≠1，故k=-2
将k=-2代入原方程得：$(-2-1)x^2 - (-2)^2x -1=0$
$-3x^2 -4x -1=0$
$3x^2 +4x +1=0$
设方程的另一个根为x₂，由根与系数的关系得：
-1·x₂=1/3
解得x₂=-1/3
所以k的值为-2，方程的另一个根是-1/3

3. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - 7x + m - 3 = 0$的两个实数根是矩形邻边的长.
(1)当矩形的对角线长为5时,求$m$的值.
(2)当$m$为何值时,该矩形为正方形.

答案：
(1)解：设方程的两个根为$x_1$，$x_2$。
由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 7$，$x_1x_2 = m - 3$。
因为矩形对角线长为5，所以$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 = 25$。
又$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
即$7^2 - 2(m - 3) = 25$，
$49 - 2m + 6 = 25$，
$-2m = 25 - 55$，
$-2m = -30$，
解得$m = 15$。
$\Delta = (-7)^2 - 4×1×(m - 3) = 49 - 4m + 12 = 61 - 4m$，
当$m = 15$时，$\Delta = 61 - 60 = 1 ＞ 0$，符合题意，故$m = 15$。
(2)解：若矩形为正方形，则$x_1 = x_2$，
所以$\Delta = 61 - 4m = 0$，
$4m = 61$，
解得$m = \frac{61}{4}$。
此时方程为$x^2 - 7x + \frac{61}{4} - 3 = x^2 - 7x + \frac{49}{4} = 0$，
$(x - \frac{7}{2})^2 = 0$，$x_1 = x_2 = \frac{7}{2}$，符合题意，故$m = \frac{61}{4}$。