《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 下列图形中不一定相似的是(A)
A.各有一个角是$45^\circ$的两个等腰三角形
B.各有一个角是$60^\circ$的两个等腰三角形
C.各有一个角是$105^\circ$的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

答案： 【解析】：
本题考查的是相似三角形的判定。
我们需要分析各选项中的等腰三角形是否满足相似三角形的条件。
A选项：各有一个角是$45^\circ$的两个等腰三角形。
如果$45^\circ$角是两个等腰三角形的顶角，那么它们的底角也各是$(180^\circ-45^\circ)/2=67.5^\circ$，从而这两个三角形是相似的。
但如果$45^\circ$角是底角，那么顶角就是$90^\circ$，此时与前面提到的情况不同，因此不一定相似。
B选项：各有一个角是$60^\circ$的两个等腰三角形。
如果$60^\circ$角是等腰三角形的顶角，底角为$(180^\circ-60^\circ)/2=60^\circ$，三角形就是等边三角形，相似。
如果$60^\circ$角是底角，那么顶角也必然是$60^\circ$，三角形也是等边三角形，相似。
所以两个各有一个角是$60^\circ$的等腰三角形必定相似。
C选项：各有一个角是$105^\circ$的两个等腰三角形。
$105^\circ$只能是顶角（因为底角不可能大于$90^\circ$），底角为$(180^\circ-105^\circ)/2=37.5^\circ$。
所以两个各有一个角是$105^\circ$的等腰三角形必定相似。
D选项：两个等腰直角三角形。
等腰直角三角形的两个底角都是$45^\circ$，顶角都是$90^\circ$，所以它们必定相似。
综上所述，只有A选项中的两个等腰三角形不一定相似。
【答案】：
A

1. 如图3,如果∠1= ∠C,那么△ABD∽△△ACB.

答案： 【解析】：
题目考查相似三角形的判定。在三角形中，如果两个角相等，则这两个三角形相似。题目给出∠1= ∠C，由此我们可以知道△ABD与另一个三角形有两个相等的角，因此这两个三角形相似。需要找出与△ABD相似的三角形。
根据图3和题目条件，我们可以看到∠1是△ABD和△ACB的公共角，同时题目给出∠1= ∠C，所以△ABD与△ACB在∠1和∠C处有两个相等的角，根据相似三角形的判定条件，如果两个三角形有两个相等的角，则这两个三角形相似。
【答案】：
△ACB

2. 如图4,$∠C= ∠E= 90^\circ,$AC= 3,BC= 4,AE= 2,则AD= __$\frac{10}{3}$__.

答案： 【解析】：
本题可先根据勾股定理求出$AB$的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出$AD$的长度。
步骤一：求$AB$的长度
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$
步骤二：证明$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似
因为$\angle C = \angle E = 90^{\circ}$，$\angle A$是$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
步骤三：根据相似三角形的性质求$AD$的长度
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应边成比例。
因为$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
已知$AB = 5$，$AC = 3$，$AE = 2$，代入上式可得：
$\frac{AD}{5}=\frac{2}{3}$
交叉相乘可得：$3AD = 2×5 = 10$
两边同时除以$3$，解得$AD=\frac{10}{3}$。
【答案】：$\frac{10}{3}$

3. 如图5,点A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若$∠ABC= 90^\circ,$BC= 2AB,则点D的坐标是(6,5)或(-6,1).

答案： 解：
已知点A(0,3)，B(1,0)，则AB的向量为(1-0, 0-3)=(1,-3)，AB长度为$\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$。
设点C坐标为(x,y)，则BC向量为(x-1,y-0)=(x-1,y)，BC长度为$\sqrt{(x-1)^2+y^2}$。
∵∠ABC=90°，
∴AB·BC=0，即1·(x-1)+(-3)·y=0，得x-3y=1 ①。
∵BC=2AB，
∴$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2\sqrt{10}$，平方得$(x-1)^2+y^2=40$ ②。
联立①②，由①得x=3y+1，代入②：$(3y)^2+y^2=40$，即10y²=40，y²=4，y=±2。
当y=2时，x=3×2+1=7，C(7,2)；当y=-2时，x=3×(-2)+1=-5，C(-5,-2)。
∵线段AB平移得到DC，
∴向量AB=向量DC。设D(m,n)，则DC=(x-m,y-n)=(1,-3)。
当C(7,2)时，$\begin{cases}7-m=1\\2-n=-3\end{cases}$，解得m=6，n=5，D(6,5)；
当C(-5,-2)时，$\begin{cases}-5-m=1\\-2-n=-3\end{cases}$，解得m=-6，n=1，D(-6,1)。
答案：(6,5)或(-6,1)

1. 已知：在△ABC和△DEF中,$∠B= 25^\circ,$$∠C= 50^\circ,$$∠D= 105^\circ,$$∠F= 50^\circ. $判断这两个三角形是否相似.

答案： 解：在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-50°=105°。
在△DEF中，∠E=180°-∠D-∠F=180°-105°-50°=25°。
∵∠A=∠D=105°，∠B=∠E=25°，∠C=∠F=50°，
∴△ABC∽△DEF。

2. 如图6,在△ABC中,E是AB的中点,AB= 6,AC= 4.5,∠ADE= ∠B,求CD的长.

答案： 解：
∵E是AB的中点，AB=6，
∴AE=BE=3。
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC。
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
∵AC=4.5，
∴$\frac{3}{4.5}=\frac{AD}{6}$，
解得AD=4。
∵AC=4.5，
∴CD=AC - AD=4.5 - 4=0.5。
答：CD的长为0.5。