《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 解：对于一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9$。
因为$\Delta = 9 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A

2. 下列一元二次方程中,没有实数根的是(C)
A.$x^2 - 3x - 1 = 0$
B.$2x^2 + x - 1 = 0$
C.$x^2 + 4x + 5 = 0$
D.$-x^2 + 2x - 1 = 0$

答案： 解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
A. $x^2 - 3x - 1 = 0$，$a = 1$，$b = -3$，$c = -1$，$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
B. $2x^2 + x - 1 = 0$，$a = 2$，$b = 1$，$c = -1$，$\Delta = 1^2 - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
C. $x^2 + 4x + 5 = 0$，$a = 1$，$b = 4$，$c = 5$，$\Delta = 4^2 - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 ＜ 0$，没有实数根。
D. $-x^2 + 2x - 1 = 0$，$a = -1$，$b = 2$，$c = -1$，$\Delta = 2^2 - 4×(-1)×(-1) = 4 - 4 = 0$，有两个相等的实数根。
综上，没有实数根的是C。
答案：C

3. 若关于x的方程$x^2 - x + a = 0$有实数根,则a的值可以是(D)
A.2
B.1
C.0.5
D.0.25

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $Ax^2 + Bx + C = 0$，其判别式为 $\Delta = B^2 - 4AC$。
若 $\Delta \geq 0$，则方程有实数根；若 $\Delta ＜ 0$，则方程无实数根。
对于方程 $x^2 - x + a = 0$，其判别式为 $\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × a = 1 - 4a$。
要求方程有实数根，则 $\Delta \geq 0$，即 $1 - 4a \geq 0$。
解这个不等式，得到 $a \leq 0.25$。
根据选项，只有 $a = 0.25$ 满足条件。
【答案】：
D

4. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - a = 0$有两个相等的实数根,则a的值是(D)
A.4
B.-4
C.1
D.-1

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
对于给定的方程 $x^2 + 2x - a = 0$，其中 $a = 1, b = 2, c = -a$（这里的a是方程的系数，与题目要求的未知数a同名，但意义不同，需要注意区分）。
因为方程有两个相等的实数根，所以 $\Delta = 0$。
代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × 1 × (-a) = 0$
$4 + 4a = 0$
解得：$a = -1$
【答案】：
D

1. 若关于x的方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根,则m的值可以为4(任意给出一个符合条件的值即可).

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
若 $\Delta \geq 0$，则方程有实数根。
对于给定的方程 $x^2 - mx + 3 = 0$，其中 $a = 1, b = -m, c = 3$。
代入判别式得：$\Delta = (-m)^2 - 4 × 1 × 3 = m^2 - 12$。
要求方程有实数根，则 $\Delta \geq 0$，即 $m^2 - 12 \geq 0$。
解这个不等式得到：$m \leq -2\sqrt{3}$ 或 $m \geq 2\sqrt{3}$。
因此，m可以取的值有很多，例如 $m = 4$（满足 $m \geq 2\sqrt{3}$）。
【答案】：
$m = 4$（答案不唯一）

2. 试写一个有两个不相等实数根的一元二次方程:$x^2 - 2x + 1 = 0$（答案不唯一，满足判别式$\Delta＞0$即可）.

答案： 解：$x^2 - 2x + 1 = 0$（答案不唯一，满足判别式$\Delta＞0$即可）

3. 关于x的一元二次方程$(k - 1)x^2 + 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是$k ＜ 5$且$k \neq 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。一元二次方程的形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
根据题目，方程$(k - 1)x^2 + 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以需要满足$\Delta ＞ 0$。
计算判别式，有：
$\Delta = 4^2 - 4 × (k - 1) × 1 = 16 - 4k + 4 = 20 - 4k$，
要使$\Delta ＞ 0$，则：
$20 - 4k ＞ 0$，
解得：
$k ＜ 5$，
另外，由于$k - 1$是方程的二次项系数，所以$k - 1 \neq 0$，即$k \neq 1$。
综上，得出$k$的取值范围为$k ＜ 5$且$k \neq 1$。
【答案】：
$k ＜ 5$且$k \neq 1$。

1. 已知关于x的方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根,求m的取值范围.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的判别式知识点。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
在本题中，方程为$x^2 + 2x + m - 1 = 0$，其中$a = 1, b = 2, c = m - 1$。
根据题意，方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta$必须大于0。
即需要满足：$2^2 - 4 × 1 × (m - 1) ＞ 0$。
解这个不等式，可以得到m的取值范围。
【答案】：
解：
∵方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = 2^2 - 4 × 1 × (m - 1) ＞ 0$，
即$4 - 4m + 4 ＞ 0$，
∴$8 - 4m ＞ 0$，
从而得到$m ＜ 2$。
所以，m的取值范围是$m ＜ 2$。