《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

2. 已知$1\leq x\leq3$,化简：$|x - 1| + \sqrt{(x - 3)^2}$。

答案： 解：因为$1\leq x\leq3$，所以$x - 1\geq0$，$x - 3\leq0$。
$|x - 1| = x - 1$，$\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| = 3 - x$。
则$|x - 1| + \sqrt{(x - 3)^2} = (x - 1) + (3 - x) = 2$。
答案：$2$

3. 实数a,b在数轴上的位置如图1,化简$\sqrt{a^2} - |b| + \sqrt{(a - b)^2}$。

答案： 【解析】：
本题可根据数轴判断$a$、$b$的正负性以及$a - b$的正负性，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$以及绝对值的性质进行化简。
步骤一：根据数轴判断$a$、$b$的正负性以及$a - b$的正负性
由数轴可知$a\lt0$，$b\gt0$，且$\vert a\vert\gt\vert b\vert$，那么$a - b\lt0$。
步骤二：根据二次根式的性质化简$\sqrt{a^2}$、$\sqrt{(a - b)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，可得$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，因为$a\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$；$\sqrt{(a - b)^2}=\vert a - b\vert$，因为$a - b\lt0$，所以$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$。
步骤三：根据绝对值的性质化简$\vert b\vert$
因为$b\gt0$，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，所以$\vert b\vert = b$。
步骤四：将化简后的式子代入原式进行计算
将$\sqrt{a^2}=\vert a\vert=-a$，$\vert b\vert = b$，$\sqrt{(a - b)^2}=\vert a - b\vert=b - a$代入$\sqrt{a^2} - \vert b\vert + \sqrt{(a - b)^2}$可得：
$\sqrt{a^2} - \vert b\vert + \sqrt{(a - b)^2}=-a - b + (b - a)$
去括号得：$-a - b + b - a$
合并同类项得：$-2a$
【答案】：
解：原式$=\vert a\vert - \vert b\vert + \vert a - b\vert$
因为$a\lt0$，$b\gt0$，$a - b\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$，$\vert b\vert = b$，$\vert a - b\vert=b - a$。
则原式$=-a - b + (b - a)$
$=-a - b + b - a$
$=-2a$

4. 若a,b,c为△ABC的三条边长.化简：$\sqrt{(a + b - c)^2} + \sqrt{(b - a - c)^2}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的化简以及三角形三边长之间的关系。
首先，根据二次根式的性质，我们有$\sqrt{x^2} = |x|$。
所以，原式可以写为：
$\sqrt{(a + b - c)^2} + \sqrt{(b - a - c)^2} = |a + b - c| + |b - a - c|$
接下来，我们需要利用三角形三边长之间的关系来化简绝对值表达式。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：
$a + b ＞ c$
$b + c ＞ a$
$a + c ＞ b$
从$a + b ＞ c$，我们可以得出$a + b - c ＞ 0$。
从$b + c ＞ a$，我们可以得出$b - a + c ＞ 0$，即$b - a - c ＜ 0$（注意这里我们变了形）。
因此，原式中的绝对值表达式可以化简为：
$|a + b - c| + |b - a - c| = (a + b - c) - (b - a - c)$
$= a + b - c - b + a + c$
$= 2a$
【答案】：
原式 $= 2a$