《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. 如图1,已知直线$a// b// c$,直线$m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F$,$AC= 4$,$CE= 6$,$BD= 3$,则$BF= (\quad)$

B
A.7

B.7.5
C.8
D.8.5

答案： 【解析】：本题主要考查了平行线分线段成比例定理。
根据平行线分线段成比例定理，
当三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，
由于直线$a// b// c$，
所以可以得到比例关系：$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
已知$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，
将这些值代入上述比例关系中，
得到：$\frac{4}{6}=\frac{3}{DF}$，
解这个比例方程，可以得到：
$DF=\frac{3× 6}{4}$
$DF=\frac{18}{4}$
$DF=4.5$
由于$BF=BD+DF$，
将已知的$BD=3$和求得的$DF=4.5$代入，
得到：$BF=3+4.5=7.5$。
【答案】：B。

2. 如图2,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,若$AD= 5$,$BD= 10$,$AE= 3$,则$CE$的长为(B)
A.9
B.6
C.3
D.4

答案： 【解析】：
本题考查平行线分线段成比例定理。
根据平行线分线段成比例定理，当两条直线平行时，它们被第三条直线所截得的对应线段成比例。
在本题中，由于$DE // BC$，可以得到$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$。
已知$AD=5$，$BD=10$，$AE=3$，需要求解$CE$。
将已知条件代入比例式，得到$\frac{5}{10} = \frac{3}{EC}$。
通过交叉相乘，可以解出$EC$的值。
【答案】：
解：
∵$DE // BC$，
∴根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$，
代入已知条件$AD=5$，$BD=10$，$AE=3$，得$\frac{5}{10} = \frac{3}{EC}$，
交叉相乘，得$5 × EC = 3 × 10$，
解得$EC = 6$。
故选B。

3. 如图3,在$\triangle ABC$中,$D,E分别为BA,CA$延长线上的点,$DE// BC$,$BD= 3AD$,若$CE= 6$,则$AC$的长为(C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解：设$AD = x$，则$BD = 3AD = 3x$，$AB=BD - AD=3x - x=2x$。
因为$DE// BC$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理推论）。
设$AC = y$，则$AE = CE - AC=6 - y$。
$\frac{x}{2x}=\frac{6 - y}{y}$
$\frac{1}{2}=\frac{6 - y}{y}$
$y = 2(6 - y)$
$y=12 - 2y$
$3y = 12$
$y = 4$
即$AC = 4$。
答案：C

4. 如图4,已知$AB// CD// EF$,则下列结论正确的是(C)
A.$\frac{AD}{DF}= \frac{BC}{BE}$
B.$\frac{DF}{AF}= \frac{EC}{BC}$
C.$\frac{AF}{BE}= \frac{AD}{BC}$
D.$\frac{CE}{DF}= \frac{AD}{BC}$

答案： 解：
∵AB//CD//EF，
∴由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，$\frac{AF}{DF}=\frac{BE}{CE}$，$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$，$\frac{CE}{DF}=\frac{BC}{AD}$。
对选项逐一分析：
A. $\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}\neq\frac{BC}{BE}$，错误；
B. $\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{BE}\neq\frac{EC}{BC}$，错误；
C. 由$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$可得$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，正确；
D. $\frac{CE}{DF}=\frac{BC}{AD}\neq\frac{AD}{BC}$，错误。
结论：C

1. 如果$D$,$E分别是\triangle ABC的边AB$,$AC$上的点,而且$DE// BC$,$AB= 8$,$AD= 6$,$AC= 10$,那么$AE= $7.5.

答案： 【解析】：
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用。
由于$DE // BC$，根据平行线分线段成比例定理，我们有$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$。
已知$AB = 8$，$AD = 6$，$AC = 10$，则$DB = AB - AD = 8 - 6 = 2$。
因此，我们可以建立比例方程：$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$。
代入已知数值，得到$\frac{6}{2} = \frac{AE}{10 - AE}$。
解这个方程，我们可以找到$AE$的值。
【答案】：
解：
∵$DE // BC$，
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$。
∵$AB = 8$，$AD = 6$，$AC = 10$，
∴$DB = AB - AD = 2$，$EC = AC - AE = 10 - AE$，
∴$\frac{6}{2} = \frac{AE}{10 - AE}$，
即$AE = 3(10 - AE)$，
解得：$AE = 7.5$。
故答案为：$7.5$。

2. 如图5,如果$D$,$E分别是\triangle ABC的边AB$,$AC$延长线上的点,而且$DE// BC$,$AE= 30$,$AC= 10$,$AB= 16$,那么$AD= $48.

答案： 【解析】：
本题主要考查成比例线段的性质。
由于$DE // BC$，根据平行线性质，我们有$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
根据相似三角形的性质，对应边之间的比例是相等的，即：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
代入已知的$AE = 30$，$AC = 10$，$AB = 16$，我们可以求解$AD$。
【答案】：
解：
∵$DE // BC$，
∴$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，
∴$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
代入已知条件得：
$\frac{AD}{16} = \frac{30}{10}$，
解得：
$AD = 48$。

3. 如图6,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,已知$AE= 1$,$BE= 2$,$DE= 3$,则$CD$的长为______.



$\frac{9}{2}$

答案： 解：
∵直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{CE}{DE}$（平行线分线段成比例定理）。
∵$AE = 1$，$BE = 2$，$DE = 3$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{CE}{3}$，
解得$CE=\frac{3}{2}$。
由图可知$CD = CE + DE$（或$CD = |CE - DE|$，根据图形位置判断为相加），
$CD=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$

4. 如图7,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$ED\perp BC$,$D$为垂足,$BD= 3\ \text{cm}$,$DC= 2\ \text{cm}$,$AB= 6\ \text{cm}$,则$BE= $3.6$\ \text{cm}$,$EA= $2.4$\ \text{cm}$.

答案： 解：
∵ $\angle C=90^{\circ}$，$ED\perp BC$，
∴ $ED// AC$，
∴ $\triangle BDE\sim\triangle BCA$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。
∵ $BD=3\ \text{cm}$，$DC=2\ \text{cm}$，
∴ $BC=BD+DC=5\ \text{cm}$。
∵ $\triangle BDE\sim\triangle BCA$，
∴ $\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
即 $\frac{BE}{6}=\frac{3}{5}$，
解得 $BE=\frac{18}{5}=3.6\ \text{cm}$。
∵ $EA=AB-BE$，
∴ $EA=6-3.6=2.4\ \text{cm}$。
$3.6$，$2.4$

5. 如图8,利用黄金分割法,所做$EF将矩形窗框ABCD$分为上下两部分,其中$E为边AB$的黄金分割点,即$BE^{2}= AE\cdot AB$.已知$AB$为2米,则线段$BE$的长为$\sqrt{5} - 1$米.

答案： 【解析】：
本题主要考查黄金分割的定义及性质。
黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割比，约为$0.618$。
在本题中，已知$E$是$AB$的黄金分割点，且$BE ＞ AE$，根据黄金分割的定义，有：
$\frac{BE}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB = 2$米，代入上式得：
$BE = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5} - 1$
【答案】：
$\sqrt{5} - 1$