《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

1. △ABC中,∠A:∠B:∠C= 1:2:3,则△ABC是(B)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

答案： 【解析】：
本题主要考察直角三角形的性质以及三角形内角和定理。
首先，根据题目给出的角度比例 $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$，设 $\angle A = x$，则 $\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$。
接着，利用三角形内角和定理，即一个三角形的三个内角之和等于 $180^\circ$，可以列出方程：
$x + 2x + 3x = 180^\circ$
解这个方程，得到：
$6x = 180^\circ$
$x = 30^\circ$
由此，可以求出其他两个角的大小：
$\angle B = 2x = 60^\circ$
$\angle C = 3x = 90^\circ$
因为 $\angle C = 90^\circ$，根据直角三角形的定义，$\bigtriangleup ABC$ 是一个直角三角形。
【答案】：
B. 直角三角形。

2. 以下四组线段中,不能构成直角三角形的是(C)
A.3,4,5
B.5,12,13
C.4,5,6
D.8,15,17

答案： 【解析】：
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。我们需要将每选项中的三条线段长度代入此公式进行验证。
A. 对于线段3，4，5：
$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$，
$5^{2} = 25$，
因为$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$，所以能构成直角三角形，不符合题意。
B. 对于线段5，12，13：
$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
$13^{2} = 169$，
因为$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，所以能构成直角三角形，不符合题意。
C. 对于线段4，5，6：
$4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$，
$6^{2} = 36$，
因为$4^{2} + 5^{2} \neq 6^{2}$，所以不能构成直角三角形，符合题意。
D. 对于线段8，15，17：
$8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$17^{2} = 289$，
因为$8^{2} + 15^{2} = 17^{2}$，所以能构成直角三角形，不符合题意。
综上所述，不能构成直角三角形的选项是C。
【答案】：
C

3. 如图1,在△ABC中,∠BAC= 90°,∠C= 30°,AD⊥BC于D,若AB= 1,则AD的长为(B)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.2

D.$\sqrt{3}$

答案： 【解析】：本题主要考查了直角三角形的性质，特别是在含有$30^\circ$角的直角三角形中，$30^\circ$角所对的直角边与斜边的关系，以及利用这个关系求出相关线段的长。
在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle C = 30^\circ$，$AB = 1$，
根据在直角三角形中，$30^\circ$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BC = 2AB = 2×1 = 2$，
接下来，利用勾股定理求出$AC$的长度。
勾股定理公式为$a^2 + b^2 = c^2$，其中$c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
将$AB = 1$，$BC = 2$代入公式，得到：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$，
然后，求出$\triangle ABC$的面积。
直角三角形的面积公式为$\frac{1}{2}ab$，其中$a$和$b$是直角边。
所以，$\triangle ABC$的面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
又因为$AD \perp BC$，所以$\triangle ABC$的面积也可以表示为$\frac{1}{2} × BC × AD$，
即$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 2 × AD = AD$，
由于两种表示方法得到的$\triangle ABC$面积相等，所以有：
$AD = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是(C)
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形

答案： 解：设原直角三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），则满足$a^2 + b^2 = c^2$。
将三条边长同时扩大$k$倍（$k＞0$），得到的新三角形三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
计算$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$。
所以新三角形满足勾股定理，是直角三角形。
答案：C

5. 如图2,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE= AD,DF= 2,则BD的长为(D)
A.$2\sqrt{2}$
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.4

答案： 解：
∵D为Rt△ABC斜边AC中点，
∴BD=AD=CD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵AE=AD，设AD=AE=BD=CD=x，则AC=2x。
∵F为CE中点，D为AC中点，
∴DF是△ACE的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE（三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半）。
∵DF=2，
∴$\frac{1}{2}$AE=2，即AE=4。
∵AE=AD=x，
∴x=4，即BD=4。
答案：D

1. 等腰直角三角形斜边上的中线长为4 cm,则其面积为______16 cm².

答案： 解：因为等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的中线长为4 cm，所以斜边长为 $2×4 = 8$ cm。
设等腰直角三角形的直角边长为 $a$ cm，根据勾股定理可得 $a^2 + a^2 = 8^2$，即 $2a^2 = 64$，$a^2 = 32$。
其面积为 $\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}×32 = 16$ $cm^2$。
答案：16 $cm^2$

2. 直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12 cm,则斜边长为8 cm.

答案： 【解析】：
本题主要考查直角三角形的性质，特别是在一个锐角为$30^\circ$的直角三角形中，斜边与$30^\circ$角所对的直角边（即最小的边）的关系。
在直角三角形中，若一个锐角为$30^\circ$，则其所对的直角边（即最小的边）等于斜边的一半。
设斜边长为$x$ cm，则根据$30^\circ$角所对的直角边与斜边的关系，最小的边（即$30^\circ$角所对的直角边）的长度为$\frac{x}{2}$ cm。
根据题目条件，斜边和最小的边的和为$12$ cm，因此可以列出方程：
$x + \frac{x}{2} = 12$
解这个方程，我们得到：
$\frac{3x}{2} = 12$
$x = 8$
所以，斜边的长度为$8$ cm。
【答案】：
$8$ cm

3. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长为______10 cm.

答案： 【解析】：
本题考查直角三角形的性质，特别是勾股定理的应用。
设斜边长为$x$ cm，则一直角边长为$x - 2$ cm，另一直角边长为6 cm。
根据勾股定理，直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方，即：
$(x - 2)^{2} + 6^{2} = x^{2}$
展开并整理得：
$x^{2} - 4x + 4 + 36 = x^{2}$
$-4x = -40$
$x = 10$
故斜边长为10 cm。
【答案】：
10 cm

4. 直角三角形两直角边分别为6 cm和8 cm,则斜边上的中线长为5cm.

答案： 【解析】：
本题考查直角三角形的性质，特别是在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半这一性质，先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用该性质求出斜边上中线的长度。
在直角三角形中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），已知两直角边分别为$6cm$和$8cm$，可求出斜边的长度。
求出斜边长度后，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即可求出斜边上中线的长度。
【答案】：
解：在直角三角形中，已知两直角边$a = 6cm$，$b = 8cm$。
根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，可得斜边$c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10cm$。
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，设斜边上的中线为$m$，则$m=\frac{1}{2}c$。
把$c = 10cm$代入可得$m=\frac{1}{2}×10 = 5cm$。
故答案为：$5cm$。

5. 将一张长方形纸片ABCD如图3所示折叠,使顶点C落在C'点.已知AB= 2,∠DEC'= 30°,则折痕DE的长为______4.

答案： 解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=2，∠C=90°。
由折叠性质得：∠C'=∠C=90°，C'D=CD=2，∠DEC'=∠DEC=30°。
在Rt△DEC'中，∠DEC'=30°，∠C'=90°，
∴DE=2C'D=2×2=4。
故答案为4。